Coupe pentagonale de la pyramide régulière à base carrée
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En géométrie, il est possible d'opérer une coupe pentagonale régulière de la pyramide régulière à base carrée. Une telle coupe est représentée sur la figure ci-contre.

Problématique

Dans l'espace euclidien (Un espace euclidien, dans la conception actuelle, est un espace vectoriel ou affine réel de dimension finie muni d'un produit scalaire. Dans un tel espace, on peut...), on considère une pyramide (Une pyramide (du grec pyramis) à n côtés est un polyèdre formé en reliant une base polygonale de n côtés à un point, appelé l'apex, par n faces triangulaires (n...) régulière (toutes ses arêtes sont de même longueur) à base carrée. Il existe alors un plan dont l'intersection avec la pyramide est un pentagone régulier, c'est-à-dire dont tous les côtés sont de même longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de...).

Propriétés de la coupe pentagonale

On note ABCDO la pyramide dont le sommet est O. Le pentagone est noté PQRST où P est situé sur [OC], Q sur [OB], R sur [AB], S sur [AD] et T sur [OD].

Si a est la longueur des arêtes de la pyramide, alors :

  • le pentagone a pour côtés (en turquoise sur la figure) :
    PQ = QR = RS = ST = TP = (3-\sqrt{5})a ;
  • trois sommets du pentagone (représentés en rouge (La couleur rouge répond à différentes définitions, selon le système chromatique dont on fait usage.) sur la figure) sont situés à la même distance du sommet de la pyramide le plus proche, à savoir
    AR = AS = OP = PQ/2 = (3-\sqrt{5}) a/2.

Généralisation (La généralisation est un procédé qui consiste à abstraire un ensemble de concepts ou d'objets en négligeant les détails de façon à ce qu'ils...) de la propriété

Une propriété similaire existe pour la pyramide régulière à base triangulaire, ou tétraèdre (Le tétraèdre (du grec tétra : quatre), est un solide composé de quatre triangles, de la famille des pyramides, donc des cônes.) régulier, dont une section est un quadrilatère (En géométrie plane, un quadrilatère est un polygone à 4 côtés.) régulier (carré). En revanche, il n'existe pas de coupe hexagonale de la pyramide régulière à base pentagonale.

Plus généralement, si l'on considère une pyramide régulière dont la base est un polygone (En géométrie euclidienne, un polygone (du grec polus, nombreux, et gônia, angle) est une figure géométrique plane, formée d'une suite cyclique de segments consécutifs et...) à n côtés et qu'il existe une section (n + 1)-gonale régulière, alors

  • soit n = 3 (tétraèdre) ;
  • soit n = 4 (pyramide à base carrée).
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