Demi-plan de Poincaré - Définition et Explications

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Le demi-plan de Poincaré est un sous-ensemble des nombres complexes. Il a permis au mathématicien français Henri Poincaré d'éclairer les travaux du Russe Nicolaï Lobatchevski.

Le demi-plan de Poincaré (1882)

Le demi-plan de Poincaré (Le demi-plan de Poincaré est un sous-ensemble des nombres complexes. Il a permis au mathématicien français Henri Poincaré d'éclairer les travaux du Russe...) est formé par les nombres complexes de partie imaginaire strictement positive. Il fournit un exemple de géométrie non euclidienne (On nomme géométrie non euclidienne une théorie géométrique modifiant au moins un des axiomes postulés par Euclide dans les Éléments.), plus précisement de géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le XVIIIe siècle, les figures d'autres types d'espaces...) hyperbolique.

Géométrie

On considère le demi-plan supérieur :

\mathcal{H}_2 \ = \ \left\{ \ z = x + i y \ / \ y \ > \ 0 \ \right\}

Métrique

On munit le demi-plan supérieur de la métrique :

ds^2 \ = \ \frac{a^2 \, \left( \, dx^2 \, + \, dy^2 \, \right)}{y^2}

Cette métrique possède une courbure (Intuitivement, courbe s'oppose à droit : la courbure d'un objet géométrique est une mesure quantitative du caractère « plus ou moins courbé » de cet...) scalaire (Un vrai scalaire est un nombre qui est indépendant du choix de la base choisie pour exprimer les vecteurs, par opposition à un pseudoscalaire, qui est un nombre qui peut dépendre de la base.) constante négative :

R \ = \ - \ \frac{1}{a^2}

On se ramène usuellement au cas d'une courbure unité, c’est-à-dire qu'on choisi : a = 1 pour simplifier les équations.

Géodésiques

Les géodésiques sont les demi-droites (au sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution progressive...) euclidien) verticales : x = cte (en rouge) et les demi-cercles (au sens euclidien) perpendiculaires à l'axe des abscisses  : y = 0 (en bleu) :

On pourra consulter le site du mathématicien (Un mathématicien est au sens restreint un chercheur en mathématiques, par extension toute personne faisant des mathématiques la base de son activité principale. Ce terme...) Andrew G. Bennett (université du Kansas) qui contient 3 applets java sur les géodésiques, les cercles hyperboliques et les triangles hyperboliques.

Homographies

Les matrices de GL_2^+(\mathbb R) agissent sur cet espace, par homographies [1]. Plus précisément, soit g un élément de GL_2^+(\mathbb R) :

g \ = \ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \quad , \quad \mathrm{det} \, g \ = \ ad - bc > 0

Son action sur un point (Graphie) z du demi-plan est donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un...) par :

g(z) \ = \ \frac{az+b}{cz+d}

Groupes Fuchiens

Formes automorphes

Dynamique (Le mot dynamique est souvent employé désigner ou qualifier ce qui est relatif au mouvement. Il peut être employé comme :) chaotique

Le flot géodésique (En géométrie, une géodésique désigne le chemin le plus court, ou l'un des chemins s'il en existe plusieurs, entre deux points d'un espace une fois qu'on s'est donné un moyen de...) sur une variété riemannienne à courbure négative est le prototype de système dynamique (En mathématiques, en physique théorique et en ingénierie, un système dynamique est un système classique qui évolue au cours du temps de façon à la fois :) à temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.) continu le plus chaotique qui soit, une propriété remarquée dès 1898 par Hadamard [HA98]. On sait aujourd'hui que ce flot est, par ordre croissant d'irrégularités [AA88], [PA91] :

  • ergodique
  • mélangeant (" mixing ")
  • K-système (Anosov)
  • C-système = bernouillien [OW73].

Lire aussi : [BV86], [CO92], [SC92].

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