Spirale logarithmique
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La spirale logarithmique est la courbe d'équation polaire suivante :

r = abθ

La spirale ci-contre a pour équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer toutes...) polaire :

r=\Phi^{\frac{\theta}{\pi}}

\Phi\, est le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) d'or : \frac{1+\sqrt{5}}{2}.

Pour obtenir une spirale ((voir page de discussion)) symétrique de la précédente par rapport à l'axe (Ox), il suffit de changer b en 1/b.

Fragments d'histoire

La spirale logarithmique (La spirale logarithmique est la courbe d'équation polaire suivante :) porte aussi le nom de spirale (En mathématiques, une spirale est une courbe qui commence en un point central puis s'en éloigne de plus en plus, en même temps qu'elle tourne autour.) équiangle, spirale de croissance

Galaxie en spirale logarithmique
Galaxie (Galaxies est une revue française trimestrielle consacrée à la science-fiction. Avec ce titre elle a connu deux existences, prenant par ailleurs la...) en spirale logarithmique

La spirale logarithmique a été étudiée par Descartes et Torricelli qui en a cherché la longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de lacet, sa...). Mais celui qui lui a consacré un ouvrage est Jacques Bernoulli qui la nomme Spira mirabilis. Impressionné par ses propriétés d'invariance, il a demandé que soient gravées sur son tombeau à Bâle une spirale logarithmique ainsi que la maxime eadem mutata resurgo (je renais changé à l'identique). Le graveur, plus artiste (Est communément appelée artiste toute personne exerçant l'un des métiers ou activités suivantes :) que mathématicien (Un mathématicien est au sens restreint un chercheur en mathématiques, par extension toute personne faisant des mathématiques la base de son...), a hélas gravé une spirale d'Archimède. D'Arcy Thomson lui consacre un chapitre dans sont traité, On Growth and Form (1917).

Le terme de spirale logarithmique lui est donné par Pierre Varignon (Pierre Varignon, né à Caen en 1654 et mort à Paris le 23 décembre 1722, était un mathématicien français.).

On retrouve la spirale logarithmique dans la forme de certaines galaxies, dans le developpement de certains coquillages et dans l'agencement de certaines fleurs.

Invariance par similitude

Une rotation de la spirale autour (Autour est le nom que la nomenclature aviaire en langue française (mise à jour) donne à 31 espèces d'oiseaux qui, soit appartiennent au genre Accipiter, soit constituent les 5 genres Erythrotriorchis, Kaupifalco,...) de O d'un angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.) \theta_0\, équivaut à une homothétie (Une homothétie est une transformation géométrique, c'est-à-dire une règle qui associe à chaque point d’un espace un point de ce même espace. On dit aussi que...) de centre O et de rapport b^{-\theta_0}.

On peut donc remarquer que la spirale logarithmique est invariante par similitude d'angle \theta_0\, et de rapport b^{\theta_0}.

Spirale équiangle

On remarque que la tangente à la courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple, les droites, les...) au point (Graphie) M fait avec la droite (OM) un angle constant α vérifiant la propriété suivante :

\tan(\alpha)=\frac{1}{\ln(b)}

où ln(b) représente le logarithme (En mathématiques, une fonction logarithme est une fonction définie sur à valeurs dans , continue et transformant un produit en somme. Le logarithme de base a où a est un...) népérien de b.

Cette propriété est caractéristique des spirales logarithmiques qui sont de ce fait souvent appelées spirales équiangles.

Rayon de courbure (Intuitivement, courbe s'oppose à droit : la courbure d'un objet géométrique est une mesure quantitative du caractère « plus ou moins courbé » de cet objet. Par exemple :)

On peut aussi démontrer que le rayon de courbure est directement proportionnel à r selon la loi suivante :

R=\frac{r}{\sin(\alpha)}

Il est alors facile de trouver le centre du cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette...) osculateur passant " au plus près " de la spirale au point M. Il suffit de tracer la perpendiculaire (En géométrie plane, on dit que deux droites sont perpendiculaires quand elles se coupent en formant un angle droit. Le terme de perpendiculaire vient du latin per-pendiculum (fil à plomb) et...) à la tangente en M ainsi que la perpendiculaire à (OM) passant par O. Les deux perpendiculaires se coupent en C, centre du cercle osculateur.

La spirale logarithmique de Newton

Ce type de spirale logarithmique possède des applications en dynamique (Le mot dynamique est souvent employé désigner ou qualifier ce qui est relatif au mouvement. Il peut être employé comme :).

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