Droite de Henry
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La droite de Henry est une méthode pour visualiser les chances qu'a une distribution d'être gaussienne. Elle permet de lire rapidement la moyenne et l'écart type d'une telle distribution.

Principe

Si X est une variable (En mathématiques et en logique, une variable est représentée par un symbole. Elle est utilisée pour marquer un rôle dans une formule, un...) gaussienne de moyenne (La moyenne est une mesure statistique caractérisant les éléments d'un ensemble de quantités : elle exprime la grandeur qu'auraient chacun des membres de l'ensemble s'ils...) \overline{x} et de variance ( En statistique et en probabilité, variance En thermodynamique, variance ) σ2 et si N est une variable de loi normale centrée réduite, on a les égalités suivantes :

P(X < x) = P\left(\frac{X-\overline{x}}{\sigma} < \frac{x-\overline {x}}{\sigma}\right) = P(N < t) = \Phi(t), avec t = \frac{x-\overline{x}}{\sigma}

(on note Φ la fonction de répartition (En probabilité, la fonction de répartition d'une variable aléatoire X est la fonction qui à tout réel x associe) de la loi normale centrée réduite).

Pour chaque valeur xi de la variable X, on peut (à l'aide d'une table de la fonction Φ) :

  • calculer P(X < xi)
  • en déduire ti tel que Φ(ti) = P(X < xi)

Si la variable est gaussienne, les points de coordonnées (xi ; ti) sont alignés sur la droite d'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation...) t = \frac{x-\overline{x}}{\sigma}.

Exemple numérique (Une information numérique (en anglais « digital ») est une information ayant été quantifiée et échantillonnée, par opposition à une information dite « analogique »...)

Lors d'un examen noté sur 20, on obtient les résultats suivants :

  • 10% des candidats ont obtenu moins de 4
  • 30% des candidats ont obtenu moins de 8
  • 60% des candidats ont obtenu moins de 12
  • 80% des candidats ont obtenu moins de 16

On cherche à déterminer si la distribution des notes est gaussienne, et, si oui, ce que valent son espérance et son écart type (En mathématiques, l'écart type est une quantité réelle positive, éventuellement infinie, utilisée dans le domaine des probabilités pour caractériser la...).

On connaît donc 4 valeurs xi, et, pour ces 4 valeurs, on connaît P(X < xi).

En utilisant la table wikisource : Table de la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite, on détermine les ti correspondants :

xi P(X<xi) = Φ(ti) ti
4 0,10 -1,28
8 0,30 -0,525
12 0,60 0,255
16 0,80 0,84

Il suffit alors de tracer les points de coordonnées (xi ; ti).

Les points paraissent alignés ; la droite coupe l'axe des abscisses au point (Graphie) d'abscisse 11 et le coefficient (En mathématiques un coefficient est un facteur multiplicatif qui dépend d'un certain objet, comme une variable (par exemple, les coefficients d'un...) directeur est (0,84 +1,28)/12 environ, ce qui donnerait un écart type de 12/2,12 = 5,7.

Cela laisse penser que la distribution est gaussienne de paramètres m, σ2, où m = 11 et σ = 5,7.

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