Fonction génératrice
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En mathématiques, la fonction génératrice de la suite (an) est la série formelle définie par

\sum a_nX^n

On confond parfois la fonction génératrice et une fonction de la variable x. Cependant, il est utile de préciser qu'une fonction génératrice (En mathématiques, la fonction génératrice de la suite (an) est la série formelle définie par) est avant tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) une série formelle (En mathématiques, les séries formelles sont un outil qui permet d'utiliser l'arsenal analytique des séries entières sans tenir compte de la notion de convergence. Ces séries sont également très utiles pour décrire de façon concise des...) et que la fonction de la variable (En mathématiques et en logique, une variable est représentée par un symbole. Elle est utilisée pour marquer un rôle dans une formule, un prédicat ou un algorithme. En statistiques, une...) x correspondante risque de ne pas converger pour tout x.

  • fonction génératrice de la suite constante 1 : \sum X^n = \frac{1}{1 - X}
  • fonction génératrice de la suite (n) : \sum nX^n  = \frac{X}{(1-X)^2}
  • fonction génératrice de la suite (n2) : \sum n^2X^n  = \frac{X(1+X)}{(1-X)^3}
  • fonction génératrice de la suite \frac{1}{n!} : \sum \frac{X^n}{n!} = e^X

On parle aussi de fonction génératrice exponentielle (La fonction exponentielle est l'une des applications les plus importantes en analyse, ou plus généralement en mathématiques et dans ses domaines...) de la suite (an) définie par la série formelle \sum a_n \frac{X^n}{n!}.

Lorsque l'on travaille plutôt avec l'inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de composition interne · notée multiplicativement, est un élément y tel que x·y =...) de X, la variable z=1/X, on parle alors de la transformée en Z , \sum a_n{(1/z)}^n, qui est beaucoup utilisée en traitement du signal ( Termes généraux Un signal est un message simplifié et généralement codé. Il existe sous forme d'objets ayant des formes particulières. Les signaux lumineux sont employés depuis la nuit des temps par les hommes pour...) et en asservissements.

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