Théorème de Cauchy-Lipschitz - Définition et Explications

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Le théorème de Cauchy-Lipschitz assure l'existence locale et l'unicité de la solution d'une équation différentielle. Énoncé par Augustin Louis Cauchy en 1820, c'est Rudolf Lipschitz qui lui donnera sa forme définitive en 1868. Dans de nombreux pays (Pays vient du latin pagus qui désignait une subdivision territoriale et tribale d'étendue restreinte (de l'ordre de quelques centaines de km²), subdivision de la civitas gallo-romaine. Comme...), l'appellation la plus courante est celle de théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement...) de Picard-Lindelöf, du nom des mathématiciens Émile Picard et Ernst Lindelöf.

Théorème

Énoncé élémentaire

Soit f une fonction de deux variables réelles à valeurs réelles :

\begin{matrix}f : & U \times I & \to & \mathbb R \\ & (x,t) & \mapsto & f(x,t)\end{matrix}

U \subset \mathbb R est un intervalle de la droite réelle, et I \subset \mathbb R un autre intervalle de cette même droite. Considérons l'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer toutes les façons de donner à certaines des quantités qui...) différentielle du premier ordre[1] :

\frac{dx(t)}{dt} \ = \ f(x(t),t)

On suppose de plus que l'équation différentielle est soumise à la condition initiale : \displaystyle x(t_0) =  x_0, où t_0 \in  I et x_0 \in U.

Si la fonction f est continue et k--Lipschitzienne en x, i.e. si f vérifie la condition de Lipschitz :

\exists k>0 \quad / \quad \forall \, t \in I , \quad \forall \, (x,y) \in U^2 , \quad \left| \, f(x,t) - f(y,t) \, \right| \ \le \ k \ \left| x - y \right|

alors il existe une et une seule solution x(t) de l'équation différentielle définie pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) t \in J, J \subset I étant un intervalle centré sur t0, vérifiant la condition initiale donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un événement, etc.).

Ce théorème est à rapprocher de la notion de déterminisme en physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans...) classique: si un système suit une loi d'évolution donnée (l'équation différentielle), les mêmes causes (les conditions initiales) produisent les mêmes effets.

Remarque

Le théorème de Cauchy-Lipschitz (Le théorème de Cauchy-Lipschitz assure l'existence locale et l'unicité de la solution d'une équation différentielle. Énoncé par Augustin Louis Cauchy en 1820, c'est Rudolf Lipschitz qui lui donnera sa forme...) fournit une existence locale : il existe une et une seule solution x(t) qui n'est définie a priori que pour des instants t situés dans un intervalle J centré sur t0. La question du prolongement maximal de cette solution, i.e. de son existence globale, se traite bien dans le cadre de l'étude des équations différentielles pour des temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.) t complexes. Ce prolongement maximal est lié à la présence de singularités. On doit notamment à Paul Painlevé (Paul Painlevé, né le 5 décembre 1863 à Paris 15e et mort le 29 octobre 1933 à Paris, est un mathématicien et homme politique français.) d'importantes contributions à ce sujet[2].

Énoncé général

Soit E un espace de Banach (Un espace de Banach est un espace vectoriel normé complet pour la distance issue de sa norme. Comme la topologie déduite de sa distance est compatible avec sa structure d’espace vectoriel, c’est un espace vectoriel topologique. Les...) [3] de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une pièce de...) finie sur ?, O un ouvert de E x ?, f une application de O dans E:

\begin{matrix}f : & O & \to & \mathbb E \\ & (x,t) & \mapsto & f(x,t)\end{matrix}

continue sur O et localement lipschitzienne en la première variable (En mathématiques et en logique, une variable est représentée par un symbole. Elle est utilisée pour marquer un rôle dans une formule, un prédicat...) sur O, i.e. la fonction f vérifie la condition de Lipschitz :

\forall \, t \in I \subset \mathbb{R}, \quad \forall \, (x,y) \in U \subset E , \quad \left| \left| \, f(x,t) - f(y,t) \, \right| \right| \ \le \ k \ \left| \left| x - y \right| \right|

k est une constante. Considérons l'équation différentielle du premier ordre :

\frac{dx(t)}{dt} \ = \ f(x(t),t)

Alors[4] :

  • les solutions maximales de l'équation diférentielle sont définies sur des intervalles ouverts de ? ;
  • les graphes des solutions maximales forment une partition de O ;
  • toute solution de l'équation différentielle est la restriction d'une et d'une seule solution maximale de l'équation.

Extension aux équations aux dérivées partielles

Le théorème de Cauchy-Lipschitz assurant l'existence et l'unicité de la solution d'une équation différentielle admet une extension aux équations aux dérivées partielles : le théorème de Cauchy-Kovalevskaïa.

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