Constante de Khintchine
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En théorie des nombres, Alexandre Iakovlevitch Khintchine a démontré que pour presque tous les nombres réels x, l'infinité de dénominateurs a_i\, du développement de la fraction continuée de x a une propriété surprenante : leur moyenne géométrique (La moyenne géométrique d'une série statistique quantitative discrète positive non nulle est définie telle que son logarithme est la moyenne arithmétique des logarithmes des valeurs discrètes positives non nulles de la distribution.) est une constante, connue sous le nom constante de Khintchine (En théorie des nombres, Alexandre Iakovlevitch Khintchine a démontré que pour presque tous les nombres réels x, l'infinité de dénominateurs du...), qui est indépendante de la valeur de x.

C’est-à-dire, pour

x = a_0 + \frac{1}{a_1 + \frac{1}{a_2 + \frac{1}{a_3 + ...}}}

il est presque toujours vrai que

\lim_{n \rightarrow \infty } \left( \prod_{i=1}^n a_i \right) ^{1/n} = K = \prod_{r=1}^\infty {\left\{ 1+{1\over r(r+2)}\right\}}^{\log_2 r}  \approx 2,6854520010\dots

Parmi les nombres x qui ont des développements en fractions continuées qui n'ont pas cette propriété se trouvent les nombres rationnels, les solutions des équations quadratiques à coefficients rationnels (incluant le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) d'or \varphi\,), et la base des logarithmes naturels e.

Parmi les nombres qui ont des développements en fractions continuées qui ont apparemment cette propriété (basé sur une évidence numérique) sont \pi\,, \gamma\, (la constante d'Euler-Mascheroni, et la constante de Khintchine elle-même. Néanmoins ceci est non-démontré, parce que bien que presque tous les nombres réels sont connus pour avoir cette propriété, elle n'a pas été démontrée pour n'importe quel nombre réel précis.

On ne sait pas si la constante de Khintchine est irrationnelle.

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