Création d'une probabilité
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Probabilité (La probabilité (du latin probabilitas) est une évaluation du caractère probable d'un évènement. En mathématiques, l'étude des probabilités est un sujet de...)
Statistique (Une statistique est, au premier abord, un nombre calculé à propos d'un échantillon. D'une façon générale, c'est le résultat de l'application d'une méthode statistique à...)

Une expérience aléatoire a conduit à construire un univers (L'Univers est l'ensemble de tout ce qui existe et les lois qui le régissent.) Ω formé d'éventualités et à définir des événements (Vocabulaire élémentaire des probabilités). Il s'agit maintenant de quantifier la probabilité de réalisation de chaque événement.

Probabilité sur un ensemble fini (En mathématiques, un ensemble E est dit fini si et seulement si E est vide ou s'il existe un entier n et une bijection de E dans l'ensemble des n premiers entiers naturels.)

Loi de probabilité

Définir une probabilité sur un ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un tout », comme...) fini c'est affecter à chaque éventualité ωi un réel piqui correspondra à sa probabilité d'apparition. Les seules conditions sur les pi sont les suivantes:

  • pi est toujours un réel positif
  • \sum_{\omega_i \in \Omega}p_i = 1

On peut remarquer que les pi sont donc nécessairement des réels compris entre 0 et 1.

La probabilité de l'événement A sera alors

p(A)=\sum_{\omega_i \in A}p_i

Modèle probabiliste

Il faut être bien conscient que le choix des pi est arbitraire. Le choix que l'on fait est en partie dicté par des a-priori.

Il peut sembler adéquat d'imaginer dans un lancer de dé que tous les numéros ont la même probabilité d'apparaître, les probabilités pi sont alors toutes égales à 1/6. On dit alors que l'on a défini une équiprobabilité sur l'univers {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}.

Mais il peut tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) aussi bien sembler adéquat de considérer que le dé est déséquilibré de telle sorte que la probabilité d'apparition d'un numéro est inversement proportionnelle à celui-ci. Ce qui mène alors à définir la probabilité de la manière suivante:

p(i) = \frac{k}{i} avec k + \frac{k}{2}+\frac{k}{3}+\frac{k}{4}+\frac{k}{5}+\frac{k}{6}= 1

Condition qui conduit à k = \frac{20}{49}.

Les deux modèles sont aussi légitimes et correspondent à des réalités différentes. On peut aussi chercher à valider un modèle par l'expérience: la loi des grands nombres (La loi des grands nombres a été formalisée au XVIIe siècle lors de la découverte de nouveaux langages mathématiques.) stipulant qu'en renouvelant un grand nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) de fois l'expérience, la fréquence (En physique, la fréquence désigne en général la mesure du nombre de fois qu'un phénomène périodique se reproduit par unité de temps. Ainsi lorsqu'on emploie le mot fréquence sans...) d'apparition de l'éventualité ωi est proche de sa probabilité d'apparition, la méthode consiste à renouveler un grand nombre de fois l'expérience et à prendre comme modèle de probabilité les fréquences observées (statistiques inférentielles)

Propriétés des probabilités

  • p(\Omega)=1\,
  • p(\emptyset)=0
  • p(\overline{A})=1 - p(A)
  • Si A et B sont deux événements incompatibles (d'intersection vide), p(A\cup B)=p(A) + p(B)
  • Dans le cas général, p(A\cup B)=p(A) + p(B) - p(A \cap B)

Probabilité sur un ensemble non fini

La construction d'une probabilité sur un ensemble non fini dépasse le cadre des mathématiques élémentaires (Les mathématiques élémentaires regroupent les mathématiques abordées et abordables dans l'enseignement primaire et secondaire. Une page méta est...) et fait alors intervenir les axiomes des probabilités (Commençons par donner une définition simple d'une probabilité. Considérons une expérience aléatoire (ou épreuve aléatoire), et l'univers...). Mais on retrouve le même questionnement sur la validité du modèle et les mêmes propriétés des probabilités.

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