Loi de probabilité - Définition et Explications

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Introduction

En théorie des probabilités et en statistique, une loi de probabilité décrit soit les probabilités de chaque valeur d'une variable aléatoire (quand la variable aléatoire est discrète), soit la probabilité que la variable aléatoire (Une variable aléatoire est une fonction définie sur l'ensemble des résultats possibles d'une expérience aléatoire, telle qu'il soit possible de déterminer la probabilité pour qu'elle prenne une valeur...) appartienne à un intervalle arbitraire (quand la variable (En mathématiques et en logique, une variable est représentée par un symbole. Elle est utilisée pour marquer un rôle dans une formule, un prédicat ou un algorithme. En...) est continue). La loi de probabilité (En théorie des probabilités et en statistique, une loi de probabilité décrit soit les probabilités de chaque valeur d'une variable aléatoire (quand la variable aléatoire est...) décrit l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un tout », comme...) des valeurs qu'une variable aléatoire peut atteindre et la probabilité (La probabilité (du latin probabilitas) est une évaluation du caractère probable d'un évènement. En mathématiques, l'étude des probabilités...) que la valeur de la variable aléatoire soit dans n'importe quel sous ensemble (mesurable) de cet ensemble.

La loi normale (En probabilité, on dit qu'une variable aléatoire réelle X suit une loi normale (ou loi normale gaussienne, loi de Laplace-Gauss) d'espérance μ et d'écart type σ strictement positif (donc...), souvent appelée la « courbe en cloche »

Quand la variable aléatoire prend ses valeurs dans \scriptstyle\ \mathbb{R},\ la loi de probabilité est complètement (Le complètement ou complètement automatique, ou encore par anglicisme complétion ou autocomplétion, est une fonctionnalité...) déterminée par sa fonction de répartition (En théorie des probabilités ou en statistiques, la fonction de répartition d'une variable aléatoire réelle caractérise la loi de...), dont la valeur en chaque réel x est la probabilité que la variable aléatoire soit inférieure ou égale à x.

Le concept de loi de probabilité (et le concept de variable aléatoire) sont les fondements des disciplines mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les transformations....) appelées théorie des probabilités (La Théorie des probabilités est l'étude mathématique des phénomènes caractérisés par le hasard et l'incertitude. Les objets centraux de la théorie des...), et statistique (Une statistique est, au premier abord, un nombre calculé à propos d'un échantillon. D'une façon générale, c'est le résultat de...). Il y a de la fluctuation ou de la variabilité dans presque toute valeur qui peut être mesurée dans une population (par exemple la taille des individus, la durabilité d'une pièce de métal (Un métal est un élément chimique qui peut perdre des électrons pour former des cations et former des liaisons métalliques ainsi que des liaisons ioniques dans le...), etc.) ; presque toutes les mesures ont une part d'erreur intrinsèque ; en physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un sens général et ancien, la physique désigne la connaissance de la...), de nombreux processus ont une description probabiliste, de la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance spéculative,...) cinétique (Le mot cinétique fait référence à la vitesse.) des gaz (Un gaz est un ensemble d'atomes ou de molécules très faiblement liés et quasi-indépendants. Dans l’état gazeux, la matière...) à la description quantique des particules élémentaires. Pour ces raisons en particulier, et pour beaucoup d'autres raisons, de simples nombres sont souvent inadéquats pour décrire une quantité (La quantité est un terme générique de la métrologie (compte, montant) ; un scalaire, vecteur, nombre d’objets ou d’une autre manière de dénommer la valeur d’une collection ou un groupe de choses.), alors qu'une loi de probabilité est plus appropriée.

Bien des lois de probabilités apparaissent dans les applications. Une des plus importantes est la loi normale, qui est aussi connue sous le nom de distribution gaussienne ou de courbe en cloche et qui approxime de nombreuses lois de probabilités apparaissant dans les applications. Le jet d'une pièce donne lieu à une autre loi de probabilité naturelle, dont les valeurs possibles sont pile ou face, chacune avec probabilité 1/2.

Définition informelle

Une loi de probabilité se caractérise de différentes manières. Le plus souvent, on utilise la fonction de répartition pour caractériser une loi. Cela présente l'avantage d'être valable aussi bien pour les lois discrètes que continues. Dans le cas d'une loi continue, on utilise très souvent la densité (La densité ou densité relative d'un corps est le rapport de sa masse volumique à la masse volumique d'un corps pris comme référence. Le corps de référence est l'eau pure...), alors que dans le cas discret, la donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un événement, etc.) des probabilités élémentaires suffit à caractériser la loi en question.

Exemples de lois à densité

Une variable aléatoire réelle \scriptstyle\ X\ possède une densité de probabilité (En théorie des probabilités ou en statistiques, une densité de probabilité est une fonction qui permet de représenter une loi de probabilité sous forme d'intégrales.) \scriptstyle\ f_X\ , si pour tous nombres réels \scriptstyle\ a<b\ on a

\mathbb{P}(a < X < b) = \int_a^b f_X(x)\, \textrm{d}x.

On dit aussi alors que la loi \scriptstyle\ \mathbb{P}_X\ de \scriptstyle\ X\ possède une densité, ou bien est à densité. D'une manière équivalente, on dit que \scriptstyle\ \mathbb{P}_X\ est absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue (La mesure de Lebesgue doit son nom au mathématicien français Henri Léon Lebesgue. Elle est d'une importance capitale en théorie de l'intégration.).

En conséquence, \scriptstyle\ \mathbb{P}(X=a) = 0, pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) nombre réel (En mathématiques, un nombre réel est un objet construit à partir des nombres rationnels, qui modélise la notion de longueur et d'autres grandeurs physiques.) \scriptstyle\ a, et la fonction de répartition \scriptstyle\ F_X\ de \scriptstyle\ X\ est continue. On a plus précisément

F_X(x) = \int_{-\infty}^x f_X(u)\, \textrm{d}u.

Les variables aléatoires à densité sont parfois appelées variables continues.

Loi uniforme

Loi uniforme continue sur un intervalle borné [a; b] :

  •  f_X (x) = \left\{\begin{matrix} \frac{1}{b-a}& \mathrm{si}\ x \in [a;b] \\ 0& \mathrm{sinon} \end{matrix}\right.
  • \mathbb{E}(X) = \frac{a+b}{2}
  • V(X) = \frac{(b-a)^2}{12}

Loi normale

  • f_X (x) = \left ( 2 \pi \sigma_X^2 \right )^{-1/2} \cdot \exp \left ( - \frac{(x-m_X)^2}{2 \sigma_X^2} \right )
  • f_X (x) = \frac{1}{\sigma_X\sqrt{2\pi}} \cdot e^{ \left ( - \frac{(x-m_X)^2}{2 \sigma_X^2} \right )}
  • \ \mathbb{E}(X) = m_X
  • \ V(X) = \sigma_X^2

Loi exponentielle (La fonction exponentielle est l'une des applications les plus importantes en analyse, ou plus généralement en mathématiques et dans ses domaines d'applications. Il existe plusieurs définitions...)

  •  f_X (x) = \left\{\begin{matrix} \lambda.\exp(-\lambda x)\ \mathrm{si}\ x \geq 0 \\ 0\ \mathrm{sinon} \end{matrix}\right.
  • \mathbb{E}(X) = \frac{1}{\lambda}
  • V(X) = \frac{1}{\lambda^2}

Loi logistique (La logistique est l'activité qui a pour objet de gérer les flux physiques d'une organisation, mettant ainsi à disposition des ressources correspondant aux besoins, aux conditions économiques et pour une...)

  •  f_X (x) = \frac{e^{-\frac{x-\mu}{s}}}{s\left(1+e^{-\frac{x-\mu}{s}}\right)^2}
  • \mathbb{E}(X) = \mu\,
  • V(X) = \frac{s^2\pi^2}{3}

Loi de Cauchy

 f_X(x)=\frac{1}{\pi}\frac{1}{1+x^2}\,

La loi de Cauchy n'admet aucun moment (donc ni moyenne (La moyenne est une mesure statistique caractérisant les éléments d'un ensemble de quantités : elle exprime la grandeur qu'auraient chacun...) ni variance ( En statistique et en probabilité, variance En thermodynamique, variance ), entre autres).

Loi de Tukey-Lambda

La Loi de Tukey-Lambda est connue de façon implicite par la distribution de ses quantiles :

G(p) = {p^\lambda - (1-p)^\lambda\over \lambda}

elle a par la suite été généralisée.

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