Paradoxe de Saint-Pétersbourg
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En probabilités, le paradoxe de Saint-Pétersbourg concerne une variable aléatoire dont la valeur est, très probablement, petite, mais dont l'espérance est infinie. Dans cette situation, la théorie des probabilités dicte une décision qu'aucun acteur (Un acteur est un artiste qui incarne un personnage dans un film, dans une pièce de théâtre, à la télévision, à la radio, ou même dans des spectacles de rue. En plus de...) raisonnable ne prendrait. L'apparition des fonctions d'utilité, se substituant à l'espérance mathématique (L'espérance mathématique est une valeur numérique permettant de mesurer le degré d'équité d'un jeu de hasard. Elle est égale à la somme des gains (et des pertes)...) de gain, a permis de résoudre ce problème. Le problème a été énoncé par Nicolas Bernoulli dans une lettre en 1713. Il a été repris et modifié par Daniel Bernoulli, son neveu, et discuté dans les Transactions de l'Académie de Saint-Petersbourg, d'où son nom.

Le Jeu

Soit le jeu suivant : on lance en l'air (L'air est le mélange de gaz constituant l'atmosphère de la Terre. Il est inodore et incolore. Du fait de la diminution de la pression de l'air avec l'altitude, il est...) une pièce de monnaie. Si face apparaît, la banque paie 2 euros au joueur, et on arrête le jeu. Sinon, on relance la pièce. Si face apparaît, la banque paie 4 euros, et on arrête le jeu. Sinon, on relance la pièce. Si face apparaît, la banque paie 8 euros au joueur, et ainsi de suite. Donc, si face apparaît pour la première fois au n-ième lancer, la banque paie 2n euros au joueur. Quelle est la mise initiale pour que le jeu soit équitable, c'est-à-dire pour que ni la banque ni le joueur ne soient avantagés par ce jeu ?

Il faut donc calculer le gain moyen du joueur au cours d'une partie : ce doit-être la mise initiale pour que le jeu soit équitable. Si face intervient dès le premier lancer, on gagne 2 euros. La probabilité (La probabilité (du latin probabilitas) est une évaluation du caractère probable d'un évènement. En mathématiques, l'étude des probabilités est un sujet de grande importance donnant...) pour que cela arrive est ½, ce qui donne une espérance pour ce coup de 1/2× 2=1. Si face intervient pour la première fois au 2e lancer, ce qui se produit avec une probabilité de ½×½=1/4, le gain est de 4 euros, ce qui fait une espérance de gain de 1 euro pour ce coup.

Plus généralement, si face apparaît pour la première fois au n-ième lancer, ce qui se produit avec une probabilité de ½n, le gain est de 2n euros, d'où une espérance de 1 euro pour ce coup. Maintenant, l'espérance totale s'obtient en sommant l'espérance de tous les cas possibles. On somme une infinité de termes qui valent tous 1 : la somme est bien sûr infinie. Il faudrait donc miser une infinité d'euros pour que le jeu soit équitable, ce qui est bien sûr impossible.

Explication du paradoxe (Un paradoxe est une proposition qui contient ou semble contenir une contradiction logique, ou un raisonnement qui, bien que sans faille apparente, aboutit à une absurdité, ou encore,...)

Pour mettre en évidence l'aspect paradoxal de ce problème, il faut considérer que, quelle que soit la mise initiale, l'espérance mathématique de gain est positive, et même infinie, pour le joueur. Pourtant, tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) quidam sain d'esprit refusera de jouer à un tel jeu si la mise initiale est trop élevée. Ce comportement d'apparence irrationnelle s'appelle l'aversion au risque. Il a été formalisé par la notion de fonction d'utilité et a donné naissance à la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance spéculative, souvent...) de la décision.

Une considération simpliste

Une élucidation simple mais efficace de ce paradoxe consiste à faire la supposition réaliste que la banque n'est pas infiniment riche, et va donc cesser de payer au-delà d'une certaine somme.
Par exemple, si on suppose qu'elle ne dispose " que " de 4 000 000 euros soit ~ 222 euros, le jeu va cesser au 22e coup et la mise équitable sera alors de 22 euros.

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