En mathématique, une suite arithmétique est une suite définie sur à valeurs dans un groupe additif E telle qu'il existe un élément de appelé raison pour lequel :
En pratique ou . Mais on peut tout aussi bien rencontrer des suites arithmétiques à valeurs dans un espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est un ensemble muni d'une structure permettant...).
On dit alors que les termes sont en " progression arithmétique (L'arithmétique est une branche des mathématiques qui comprend la partie de la...) ".
Exemple Si la raison et :
Si E est un groupe et si est une suite arithmétique de E de raison alors, pour tout :
Plus généralement, si la suite est définie sur et si n et p appartiennent à A alors :
Une suite arithmétique est donc entièrement déterminée par la donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire,...) de son premier terme et par sa raison r.
Réciproquement, une suite définie sur par
est une suite arithmétique de raison r.
En analyse réelle ou complexe, la suite arithmétique est l'aspect discret de la fonction affine (En mathématiques élémentaires, une fonction affine est une fonction de la variable réelle dont...).
Ce paragraphe concerne les suites arithmétiques à valeurs dans .
Si r > 0 la suite est croissante, si r < 0 la suite est décroissante et si r = 0 la suite est constante.
En général (si r est non nul), la suite arithmétique est divergente. Cependant elle admet une limite:
Si ou et si est une suite arithmétique de E alors, pour tout :
La légende veut que la méthode de calcul fut inventée par Carl Friedrich Gauss (Johann Carl Friedrich Gauß (traditionnellement transcrit Gauss en français)...), élève dissipé qu'il s'agissait d'occuper et à qui l'on aurait confié la tâche de calculer la somme de tous les entiers de 1 à 100. En écrivant la somme deux fois, dans un ordre différent, il obtint :
Puis, remarquant que 100 + 1 = 99 + 2 = 98 + 3 = ... = 101, il obtint facilement
Légende ou réalité, cette astuce est la méthode de démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir...) pour calculer les somme des termes:
Remarquant que up + un − p = u0 + un, il vient
Cette propriété s'applique pour calculer la somme des n premiers entiers
et se généralise à toute somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique
Elle se généralise aussi à toute suite à valeurs dans un espace vectoriel sur un corps de caractéristique différente (En mathématiques, la différente est définie en théorie algébrique des...) de 2