Application réciproque
Source: Wikipédia sous licence CC-BY-SA 3.0.
La liste des auteurs de cet article est disponible ici.

En mathématiques, une application réciproque est en des termes simples une fonction qui " fait exactement l'inverse de ce que fait une application donnée ". L'application réciproque permet de retrouver un élément à partir de son image par une application donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un...); autrement dit une application réciproque (En mathématiques, une application réciproque est en des termes simples une fonction qui « fait exactement l'inverse de ce que fait une application donnée ». L'application réciproque permet de retrouver un élément à partir...) défait ce que l'application originale a fait.

Exemple

Considérons la fonction f : x \mapsto 3x+2.

On pose :

y = 3x + 2

On inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de composition interne · notée multiplicativement, est un élément y tel que x·y = y·x = 1, si 1...) le couple (x,y) :

x = 3y + 2

Et on isole y :

x - 2 = 3y \Leftrightarrow \frac{x-2}{3} = y

L'application réciproque (La réciproque est une relation d'implication.) est donc :

f^{-1} : x \mapsto \frac{x-2}{3}

L'exposant (Exposant peut signifier:) " -1 " n'est pas une puissance (Le mot puissance est employé dans plusieurs domaines avec une signification particulière :) et f − 1 ne correspond pas à l'inverse d'une fonction pour la multiplication (La multiplication est l'une des quatre opérations de l'arithmétique élémentaire avec l'addition, la soustraction et la division .), mais à l'inverse pour la composition de fonctions (En mathématiques, une fonction composée, formée par la composition de deux fonctions, représente l'application de la première fonction au résultat de l'application de la seconde (à l'argument choisi).). On trouve aussi les notations {}^r\!f et fr qui lèvent cette ambiguïté.

En fait, pour qu'une fonction f admette une application réciproque, elle doit être bijective :

  1. chaque élément de l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble),...) d'arrivée doit être atteint par f : sinon il n'y aurait pas de moyen de définir l'image par f − 1 de certains éléments.
  2. chaque élément de l'ensemble d'arrivée doit être atteint une seule fois par f : sinon l'application réciproque enverrait cet élément sur plus qu'une seule valeur.

Définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) formelle

Formellement, l'application réciproque d'une application bijective f d'un ensemble X sur un ensemble Y, est l'application notée f-1 qui à un élément y de l'ensemble d'arrivée Y, associe l'unique antécédent x de y par f.

  • pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) x de X, f^{-1}(f(x)) = x\,, car f(x) a pour unique antécédent x
  • pour tout y dans Y, f(f^{-1}(y)) = y\,, car f envoie l'unique antécédent de y sur y.

Ce que nous pouvons écrire : f^{-1}\circ f={\rm Id}_{X} et f\circ f^{-1}={\rm Id}_{Y}.

Il est possible de définir l'application réciproque d'une fonction pas forcément bijective, en considérant l'application g de même ensemble de définition (En mathématiques, l' ensemble de définition D f  d'une fonction  f  dont l' ensemble de départ est noté  E  et l' ensemble d'arrivée...) que f dont l'ensemble d'arrivée est restreint à l'image de f et qui envoie un élément sur l'image de cet élément par f; l'application réciproque est alors l'application multiforme qui à un élément de l'image de f associe ses antécédents par f.

Soient I et J deux parties de \R et f:I\rightarrow J\, une fonction bijective. Si nous représentons graphiquement la fonction f dans un repère cartésien, alors le graphe (Le mot graphe possède plusieurs significations. Il est notamment employé :) de f − 1 est le symétrique orthogonal de celui de f par rapport à la droite d'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer toutes...) y = x.

Algébriquement, nous déterminons l'application réciproque de f en résolvant l'équation

y = f(x)

d'inconnue x, et en échangeant y et x pour obtenir

y = f − 1(x).

Cela n'est pas toujours facile ou possible.

Si la fonction f est analytique, alors le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir...) d'inversion de Lagrange peut être utilisé.

Page générée en 0.262 seconde(s) - site hébergé chez Amen
Ce site fait l'objet d'une déclaration à la CNIL sous le numéro de dossier 1037632
Ce site est édité par Techno-Science.net - A propos - Informations légales
Partenaire: HD-Numérique