Composition de fonctions
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En mathématiques, une fonction composée, formée par la composition de deux fonctions, représente l'application de la première fonction au résultat de l'application de la seconde (à l'argument choisi).

Les deux fonctions fX\rightarrowY et gY\rightarrowZ peuvent être composées en appliquant f à l'argument x, puis en appliquant g au résultat. On obtient ainsi la fonction g o f: X\rightarrowZ définie par (g o f)(x) = g(f(x)) pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) x de l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un tout »,...) X.

La notation g o f se lit " g rond ( Le mot rond caractérise et par abus de langage désigne un cercle ou une sphère. En argot, un rond c'est un sou. Une affaire rondement menée est une affaire traitée rapidement en ayant passé...) f ", ou " f suivie de g ". (g o f)(x) se note aussi o f(x).

Règles

La composition de fonctions (En mathématiques, une fonction composée, formée par la composition de deux fonctions, représente l'application de la première fonction au résultat de l'application de la...) n'est valable que si les domaines de définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) des fonctions sont compatibles.

Soient f:\mathbb I \rightarrow \mathbb J et g:\mathbb K \rightarrow \mathbb L deux fonctions, alors g \circ f est toujours définie si et seulement si \mathbb J \subseteq \mathbb K (l'ensemble d'arrivée de la fonction f est compris dans l'ensemble de départ de la fonction g).

Exemple d'incompatibilité des domaines

Soient les deux fonctions :

f: \begin{matrix} \mathbb R^+ & \rightarrow & \mathbb R^+ \\ x & \rightarrow & \sqrt{x} \end{matrix}

et

g: \begin{matrix} \mathbb R & \rightarrow & \mathbb R \\ x & \rightarrow & -x \end{matrix}

la fonction f \circ g est définie uniquement sur le domaine \mathbb R^-.

Propriétés

  • La composition de fonctions n'est généralement pas commutative :
f \circ g \ne g \circ f
  • La composition de fonctions est associative :
f \circ ( g \circ h ) = ( f \circ g ) \circ h
  • La composition de fonctions n'est pas distributive (sur un opérateur (Le mot opérateur est employé dans les domaines :) quelconque \star) :
f \circ (g \star h) \ne (f \circ g) \star (f \circ h)
  • Continuité : si la fonction g est continue en x_0\, et la fonction f est continue en g(x_0)\, alors f \circ g est continue en x_0\,.
  • Composition de deux fonctions f et g strictement monotones :
    • si f et g ont même sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution...) de variation, leur composée est strictement croissante;
    • si f et g ont des sens de variation différents, leur composée est strictement décroissante.

Remarque : Le sens de variation obéit à la régle des signes.

  • Dérivée (La dérivée d'une fonction est le moyen de déterminer combien cette fonction varie quand la quantité dont elle dépend, son argument, change. Plus précisément, une dérivée est une expression (numérique ou...) d'une composition de fonctions dérivables :
(f \circ g)' = (f'\circ g) \cdot g'
    • Voir l'article Théorème de dérivation des fonctions composées.

Puissances fonctionnelles

Si YX alors f peut être composée avec elle-même; et la composée est notée f2. Ainsi

\forall x\in X, (f\circ f)(x) = f(f(x)) = f ^2(x)
\forall x\in X, (f\circ f\circ f)(x) = f(f(f(x))) = f ^3(x)

Pour tout entier naturel n, la puissance (Le mot puissance est employé dans plusieurs domaines avec une signification particulière :) n-ième de f est définie par f\circ f^n =f^n \circ f =f^{n+1} et f^0=\operatorname{Id}_X.

Une extension de cette notation avec des exposants entiers négatifs peut être définie, à condition de supposer la fonction bijective de X sur X. f-1 désigne l'application réciproque (En mathématiques, une application réciproque est en des termes simples une fonction qui « fait exactement l'inverse de ce que fait une application...) et pour tout entier n strictement négatif fn, est la composée de f-1 par elle-même -n fois.

Ne pas confondre cette notation avec la puissance d'une fonction pour la multiplication (La multiplication est l'une des quatre opérations de l'arithmétique élémentaire avec l'addition, la soustraction et la division .) des applications. Par exemple sin2 est la fonction sin×sin qui vérifie pour tous réels x, sin2(x) = sin(x)×sin(x). Il y a aussi une confusion possible entre l'inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de composition interne · notée multiplicativement, est un élément y tel que x·y =...) d'une fonction pour la multiplication et l'application réciproque (La réciproque est une relation d'implication.).

Autre notation

Au milieu du XXe siècle, quelques mathématiciens trouvèrent que la notation g o f portait à confusion et décidèrent d'utiliser xf pour f(x) et xfg pour g(f(x)). Ils ne furent pas suivis et cette notation ne se rencontre que dans certains vieux livres.

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