Théorème des milieux
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Le théorème des milieux (Le théorème des milieux est un cas particulier de la réciproque du théorème de Thalès.) est un cas particulier de la réciproque (La réciproque est une relation d'implication.) du théorème de Thalès (Le théorème de Thalès est un théorème de géométrie, attribué selon la légende au mathématicien et philosophe grec Thalès de Milet ; en réalité Thalès s'est davantage intéressé aux angles opposés...).

Théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers...) direct

Si un segment a pour extrémités les milieux de deux côtés d’un triangle (En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane, formée par trois points et par les trois segments qui les relient. La dénomination de...), alors il est parallèle au troisième côté, et sa longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de lacet, sa longueur est celle de l’objet complètement...) est égale à la moitié de ce troisième côté.

Formulation (La formulation est une activité industrielle consistant à fabriquer des produits homogènes, stables et possédant des propriétés spécifiques, en mélangeant différentes matières...) graphique

Ce théorème peut se présenter graphiquement de la manière suivante :

Formulation en français

Si une droite passe par le milieu des deux côtés d'un triangle alors elle est parallèle au troisième côté.
La longueur joignant les milieux de deux côtés d'un triangle est égale a la moitié de celle du troisième côté.

Preuve

Sur la figure, (IJ) est la droite des milieux dans ABC qu’on veut prouver parallèle à (BC).

Soit K le symétrique de J par rapport à I, on a alors I milieu de [JK] et IJ = \frac {KJ} 2.

Comme I est par hypothèse le milieu de [AB], les diagonales de AJBK se coupent en leur milieu commun I, donc AJBK est un parallélogramme (Un parallélogramme, en géométrie, est un quadrilatère (convexe) dont les côtés sont parallèles deux à deux ; c'est un trapèze particulier.).
Ses côtés [AJ] et [KB] sont parallèles et de même longueur, et il en est donc de même pour [JC] et [KB].

KBCJ n’est pas croisé (B et C sont dans le même demi-plan par rapport à (KJ), B comme symétrique de A par rapport à I, C comme symétrique de A par rapport à J).

Or si un quadrilatère non-croisé a deux côtés opposés parallèles et de même longueur alors c'est un parallélogramme.

Donc KBCJ est un parallélogramme.

Par les propriétés du parallélogramme, les côtés opposés [KJ] et [BC] sont parallèles, la droite (IJ) est donc parallèle à (BC).
Comme les côtés opposés sont égaux, de KJ = BC on déduit : IJ = \frac {BC} 2.

Remarque : On évite la complication du quadrilatère croisé avec une preuve vectorielle : \overrightarrow{AJ} = \overrightarrow{KB}=\overrightarrow{JC}

Théorème réciproque

C'est un cas particulier du théorème direct de Thalès.

Théorème : Si une droite passe par le mileu d'un des côtés du triangle ABC et si elle est parallèle à un autre côté alors elle coupe le troisième côté en son milieu ( voir ci-dessous )

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