Pendule de Huygens
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En physique, le dispositif appelé pendule de Huygens, en l'honneur du physicien Christiaan Huygens, est constitué d'un point matériel M, pesant, se déplaçant sur une parabole d'équation z= x^2/2p\,, dans un plan tournant à la vitesse angulaire (En physique, et plus spécifiquement en mécanique, la vitesse angulaire ω, aussi appelée fréquence angulaire, est une mesure de la vitesse de rotation.) \omega\,, d'axe vertical (Le vertical (rare), ou style vertical, est un style d’écriture musicale consistant en accords plaqués.).

Il ne mérite de fait pas son appellation de " pendule " puisqu'il n'oscille pas. Néanmoins il fournit un résultat intéressant pour la compréhension du pendule conique (La figure ci-contre représente un dispositif appelé "pendule conique". Il s'agit d'un pendule simple mais dont on attache l'extrémité du fil à un axe de rotation vertical (tige rigide...).

Présentation

Huygens a imaginé une came d'équation :

z_p = {3\over 2} (px^2)^{1/3}\,,

c'est-à-dire l'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer toutes les façons de donner à certaines des...) de la développée (En géométrie, la développée d'une courbe plane est le lieu de ses centres de courbure. On peut aussi la décrire comme l'enveloppe de la famille des droites normales à la courbe.) de la parabole (La parabole est l'intersection d'un plan avec un cône lorsque le plan est parallèle à l'une des génératrices du cône. Elle est un type de courbe dont...).

On constate que si le point (Graphie) dépasse une certaine vitesse (On distingue :) angulaire critique, donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un événement, etc.) par :

\omega_0 = \sqrt{ \frac{g}{p} }

il se retrouve soit en bas, soit en haut du dispositif. Le cas d'équilibre indifférent est atteint quand la vitesse angulaire de son déplacement ( En géométrie, un déplacement est une similitude qui conserve les distances et les angles orientés. En psychanalyse, le déplacement est mécanisme de défense...) est égale à cette vitesse critique.

Explications

On considère les énergies potentielles des forces en présence dans le référentiel tournant :

  • l'énergie (Dans le sens commun l'énergie désigne tout ce qui permet d'effectuer un travail, fabriquer de la chaleur, de la lumière, de produire un mouvement.) potentielle de pesanteur (Le champ de pesanteur (ou plus couramment pesanteur) est un champ attractif auquel sont soumis tous les corps matériels au voisinage de la Terre : on observe ainsi...) mgz\,, avec z = r^2/2p\,, soit
E_p=\frac {mgr^2}{2p} ;
  • l'énergie potentielle dont dérive la force (Le mot force peut désigner un pouvoir mécanique sur les choses, et aussi, métaphoriquement, un pouvoir de la volonté ou encore une vertu morale « cardinale » équivalent au courage (cf. les articles « force...) d'entraînement (axifuge, ou " centrifuge ") :
E_e=-m\omega^2 \frac{r^2}{2}.

Le mobile M se situe, à l'équilibre, au point où l'énergie totale E=E_p+E_e\, atteint un extrémum, c'est-à-dire au point où sa dérivée (La dérivée d'une fonction est le moyen de déterminer combien cette fonction varie quand la quantité dont elle dépend, son argument, change. Plus précisément, une dérivée est une expression (numérique ou algébrique) donnant le rapport...) s'annule :

\frac{dE}{dr}=0 \Leftrightarrow \frac{mgr}{p}-m\omega_0^2 r = 0 \Leftrightarrow  r=0

C'est-à-dire lorsque :

\omega_0 = \sqrt{ \frac{g}{p} }.

Lorsque r=0\,, M se trouve en bas de la parabole. Lorsque \omega = \omega_0\, toute la parabole se trouve à l'équilibre, M reste immobile, là où il se trouvait lorsque la vitesse critique a été atteinte. Le cas où M se trouve en haut est un cas hors équilibre, dû aux contraintes physiques posées par la came.

Observation (L’observation est l’action de suivi attentif des phénomènes, sans volonté de les modifier, à l’aide de moyens d’enquête et d’étude appropriés. Le plaisir procuré explique la très...)

On peut observer la parabole de Huygens avec un liquide :

  • on emprisonne de l'eau (L’eau est un composé chimique ubiquitaire sur la Terre, essentiel pour tous les organismes vivants connus.) colorée entre deux plans transparent verticaux et très proches, pour obtenir un film de liquide (La phase liquide est un état de la matière. Sous cette forme, la matière est facilement déformable mais difficilement compressible.) (qui ne remplit pas entièrement l'espace entre les deux plans) ;
  • on met l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un...) en rotation autour (Autour est le nom que la nomenclature aviaire en langue française (mise à jour) donne à 31 espèces d'oiseaux qui, soit appartiennent au genre Accipiter, soit constituent les 5...) d'un axe vertical à la vitesse \omega_0\, quelconque (fixée par l'expérimentateur).

On remarque alors que la surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a plusieurs acceptions, parfois objet géométrique, parfois frontière physique, et est souvent abusivement confondu avec sa...) du liquide se courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple, les droites, les segments, les lignes polygonales et les...), pour adopter la forme d'une parabole, d'équation identique à celle de la came de Huygens, avec le paramètre (Un paramètre est au sens large un élément d'information à prendre en compte pour prendre une décision ou pour effectuer un calcul.) p\, valant \frac{g}{\omega_0^2}.

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