11 (nombre) - Définition

Procédés de calcul

• Divisibilité par 11 :

En base 10, il y a un procédé simple pour déterminer si un nombre entier est divisible par 11. 1°/. On additionne les chiffres du nombre situés dans des positions impaires. 2°/. On additionne les chiffres restants (donc situés dans des positions paires). 3°/. Si la différence entre les deux sommes est un multiple de 11, y compris 0, alors le nombre est divisible par 11.

      Exemple: 578 002 293 est-il divisible par 11 ?      1°/ Somme des chiffres en positions impaires: 5 + 8 + 0 + 2 + 3 = 18      2°/ Somme des chiffres en positions paires:     7 + 0 + 2 + 9   = 18      3°/ Différence                                                   =  0      578 002 293 est divisible par 11 (En effet il est égal à 11 x 6353 x 8271).      

Un autre procédé consiste à additionner les chiffres du nombre par segments de 2. (Si les chiffres sont en nombre impair, on place un 0 en tête ou à la fin.) On teste ensuite la divisibilité par 11 du total obtenu.

      Exemple: 2 006 103 est-il divisible par 11 ?      Test: 02 + 00 + 61 + 03 = 66 = 11 x 6      Ou:   20 + 06 + 10 + 30 = 66 = 11 x 6      2 006 103 est divisible par 11 (11 x 31 x 37 x 159).      

Troisième méthode beaucoup plus simple à utiliser : on soustrait les chiffres un à un à leur supérieur, et si le dernier obtenu correspond bien au chiffre le plus haut, alors le nombre initial est divisible par 11. Incompréhensible comme explication... rien ne vaut un bon exemple :

      Exemple: soit abcde un entier, avec e chiffre des unités, etc.      Test: on calcule alors d-e, puis c-(d-e), puis b-[c-(d-e)]. À ce moment-là, si le nombre obtenu est égal à a,      alors le nombre de départ est divisible par 11.      Par exemple, prenez 9 876 345.      4-5=9 (en effet, on considère une retenue, car on est dans les naturels, je vous le rappelle)      3-9=4 (même principe)      6-4=2 (aucun problème ici j'espère)      7-2=5      8-5=3      

Donc d'après la méthode, 9 876 345 n'est pas divisible par 11. D'après la calculatrice, 9876345=11*897849,5455. L'avantage de cette méthode, c'est que maintenant vous connaissez un multiple de 11 en plus... Eh oui, essayez avec 3 876 345 (parce que le dernier résultat trouvé était 3)... De plus, c'est de loin la méthode la plus logique. En effet, lorsqu'on se demande si 121 est multiple de 11, on fait "1+1=2". Eh bien, on a tort. En fait, on fait "2-1=1", et le "1" est bien le chiffre des centaines.

• Multiplication par 11 :

On faisait grand cas autrefois, avant la calculette, des moyens ou "trucs" permettant de mémoriser facilement ou d'obtenir plus vite des résultats d'opérations.

A cet égard, la table de multiplication par 11 a ravi des générations de petits écoliers : pour avoir le résultat, il suffit de doubler le chiffre du multiplicande.

Multiplicande à 1 chiffre :

1 x 11 = 11
2 x 11 = 22
3 x 11 = 33
4 x 11 = 44
5 x 11 = 55
6 x 11 = 66
7 x 11 = 77
8 x 11 = 88
9 x 11 = 99

Multiplicande à 2 chiffres :

1/ : La somme des 2 chiffres ne dépasse pas 9 :

On intercale cette somme entre les deux chiffres du mutiplicande.

Exemple : 54 x 11 ? somme des chiffres : 5 + 4 = 9 ? interposition : 5 / 9 / 4 ? résultat : 594

2/ : La somme des 2 chiffres dépasse 9 :

Même principe et on additionne le chiffre des dizaines de la somme à celui des dizaines du multiplicande.

Exemple : 89 x 11 ? somme des chiffres : 8 + 9 = 17 ? interposition : 8 / 17 / 9 ? addition du chiffre des dizaines de la somme au chiffre des dizaines du nombre : 8 + 1 = 9 / 7 / 9 ? résultat : 979

Multiplicande à 3 chiffres :

La procédure devient plus longue à expliquer qu'à appliquer ! Elle reste très simple.

1/ : La somme des 3 chiffres ne dépasse pas 9 :

On additionne le chiffre central au chiffre de gauche puis de droite. On juxtapose les deux résultats. Le nombre à deux chiffres obtenu prend la place du chiffre du milieu.

Exemple : 135 x 11 ? addition gauche : 1 + 3 = 4 ? addition droite : 3 + 5 = 8 ? juxtaposition : 48 ? placement au centre : 1 / 48 / 5 ? résultat : 1485

2/ : La somme des 3 chiffres dépasse 9 :

Idem. On obtient deux nombres à deux chiffres. On juxtapose. On place au centre. On réduit par addition les deux premiers segments de deux chiffres.

Exemple : 689 x 11 ? addition gauche : 6 + 8 = 14 ? addition droite : 8 + 9 = 17 ? juxtaposition : 1417 ? placement au centre : 6 / 1417 / 9 ? réduction 1^er segment : 6 + 1 = 7 ? réduction 2^e segment : 4 + 1 = 5 ? résultat : 7579

Multiplicande à n chiffres :

On reproduit le même principe n - 1 fois.

Ou encore :

On multiplie le nombre (à 3 chiffres ou plus) par 10 et on ajoute le nombre.

Exemple : 3197 x 11 ? multiplication par 10 : 31970 ? Addition du nombre : 31970 + 3197 ? Résultat : 35067