Algèbre des parties d'un ensemble - Définition

Intersection

Définition

Pour tout ensemble A et tout ensemble B, il existe un ensemble S dont les éléments sont ceux qui sont communs à A et à B. Cette proposition, qui est un axiome implicite de la théorie naïve des ensembles, découle, dans la théorie des ensembles, du schéma d'axiomes de compréhension. En notation symbolique :

L'unicité de l'ensemble S est garantie par l'axiome d'extensionnalité. On le note « A ∩ B » ( lire « A inter B » ), et on l'appelle intersection de A et de B.

Propriétés

Pour tous ensembles A, B, C, D, on a les propriétés suivantes :

• N1 (commutativité) : l'intersection de deux ensembles ne dépend pas de l'ordre dans lequel ces deux ensembles sont pris :

• N2 (Ø absorbant) : l'intersection de l'ensemble vide et d'un ensemble quelconque est vide :

• N3 (idempotence) : l'intersection d'un ensemble quelconque avec lui-même redonne cet ensemble :

• N4 : l'intersection de deux ensembles est incluse dans chacun de ces deux ensembles :

• N5 : un ensemble A est inclus dans un ensemble B si et seulement si leur intersection est égale à A :

• N6 : l'équivalent de U6 se traduit par une définition, celle des ensembles disjoints (voir ci-dessous).
• N7 (compatibilité avec l'inclusion) : l'intersection de deux sous-ensembles est incluse dans l'intersection des deux ensembles dont ils sont sous-ensembles :

• N8 (associativité) : le résultat de l'intersection de plusieurs ensembles ne dépend pas de l'ordre dans lequel les opérations sont faites :

Cas des familles d'ensembles

Il est possible de définir l'intersection d'une famille quelconque d'ensembles comme l'intersection des ensembles composant cette famille :

.

En particulier, pour une famille vide d'ensembles, est la « classe » de tous les ensembles et n'est donc pas un ensemble.

Ensembles disjoints

Deux ensembles sont disjoints si et seulement si leur intersection est vide, c'est-à-dire s'ils n'ont pas d'éléments en commun. Par exemple, si A = { 1, 2 } et B = { 3, 4 }, alors A ∩B = Ø, et A et B sont donc disjoints.

Il existe deux manières de généraliser cette définition à plus de deux ensembles : E désignant un ensemble d'ensembles,

• les éléments de E sont dits (globalement) disjoints si « l'ensemble noyau de E » (noté ∩E et désignant l'intersection de tous les ensembles appartenant à E) est vide : ;
• les éléments de E sont dits mutuellement disjoints ou disjoints deux à deux si et seulement si l'ensemble noyau de toute paire de ces éléments est vide, c'est-à-dire si :

Ces deux notions sont différentes : des ensembles disjoints deux à deux sont globalement disjoints (dès qu'il y en a au moins deux), tandis que des ensembles globalement disjoints ne le sont pas nécessairement deux à deux.

Liens avec la réunion

Pour tous ensembles A, B, C, on a les deux propriétés suivantes :

• UN1 (distributivité de l'intersection par rapport à la réunion  : l'intersection de la réunion de deux ensembles avec un troisième ensemble est égale à la réunion de l'intersection de chacun des deux premiers ensembles avec le troisième :

• UN2 (distributivité de la réunion par rapport à l'intersection) : la réunion de l'intersection de deux ensembles avec un troisième ensemble est égale à l'intersection de la réunion de chacun des deux premiers ensembles avec le troisième :