Algèbre des parties d'un ensemble - Définition et Explications

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Introduction

Cet article est consacré à une première approche des opérations sur les ensembles et de leurs propriétés : réunion, intersection, différence, complémentation, différence symétrique...

Réunion

Définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la...)

Pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou...) ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection...) A et tout ensemble B, il existe un ensemble U dont les éléments sont ceux de A et de B (cette proposition, qui est un axiome (Un axiome (du grec ancien αξιωμα/axioma,...) implicite de la théorie naïve des ensembles (Les ensembles sont d'une importance fondamentale en mathématiques; en fait, de manière formelle,...), découle, dans la théorie des ensembles (La théorie des ensembles est une branche des mathématiques, créée par le...) de l'axiome de la paire (En mathématiques, l'axiome de la paire est l'un des axiomes de la théorie axiomatique des...) et de l'axiome de la réunion). En notation symbolique :

\exists\ U,~\forall x,~(x\in U)\Leftrightarrow[(x\in A)\lor(x\in B)]~.

L'unicité de l'ensemble U est garantie par l'axiome d'extensionnalité. On le note « A U B » ( lire « A union B » ), et on l'appelle réunion de A et de B.

A\cup B=\{x~|~(x\in A)\lor(x\in B)\}~.

Propriétés

Pour tous ensembles A, B, C, D, on a les propriétés suivantes :

  • U1 (commutativité) : la réunion (La Réunion est une île française du sud-ouest de l'océan Indien située...) de deux ensembles ne dépend pas de l'ordre dans lequel ces deux ensembles sont pris :
A\cup B=B\cup A~,
  • U2 (Ø neutre) : la réunion de l'ensemble vide (En mathématiques, l'ensemble vide est l'ensemble ne contenant aucun élément.) avec un ensemble quelconque redonne cet ensemble :
A\cup\varnothing=A~,
  • U3 (idempotence) : la réunion d'un ensemble quelconque avec lui-même redonne cet ensemble :
A\cup A=A~,
  • U4 : tout ensemble est inclus dans sa réunion avec n'importe quel autre ensemble :
A \subseteq A\cup B~,
  • U5 : un ensemble A est inclus dans un ensemble B si et seulement si leur réunion est égale à B :
(A\subseteq B)\Leftrightarrow(A\cup B=B)~,
  • U6 : si la réunion de deux ensembles est vide (Le vide est ordinairement défini comme l'absence de matière dans une zone spatiale.), alors ils sont vides tous les deux :
[A\cup B=\varnothing]\Rightarrow[(A=\varnothing )\land(B=\varnothing)]~,
  • U7 (compatibilité avec l'inclusion) : la réunion de deux sous-ensembles est incluse dans la réunion des deux ensembles dont ils sont sous-ensembles :
[(A\subseteq B)\land(C\subseteq D)]\Rightarrow[(A\cup C)\subseteq(B\cup D)]~,
  • U8 (associativité) : le résultat de la réunion de plusieurs ensembles ne dépend pas de l'ordre dans lequel les opérations de réunion sont faites :
(A\cup B)\cup C=A\cup(B\cup C)=A\cup B\cup C~.

Différence

Définition

Pour tout ensemble A et tout ensemble B, il existe un ensemble D dont les éléments sont ceux de A qui n'appartiennent pas à B (cette proposition, qui est un axiome implicite de la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer,...) naïve des ensembles, découle, dans la théorie des ensembles du schéma d'axiomes de compréhension). En notation symbolique :

\exist D,~\forall x,~(x\in D)\Leftrightarrow[(x\in A)\land(x\notin B)]~.

L'unicité de l'ensemble D est garantie par l'axiome d'extensionnalité. On le note « A \ B » ( lire « A moins B » ), et on l'appelle différence de A et de B.

A\setminus B=\{x~|~(x\in A)\land(x\notin B)\}~.

« Faire la différence » de deux ensembles A et B se dit aussi « soustraire » B de A.

Propriétés

Pour tous ensembles A, B, C, on a les propriétés suivantes :

  • D1 (Ø neutre à droite) : soustraire l'ensemble vide d'un ensemble redonne cet ensemble :
A\setminus\varnothing=A~,
  • D2 (Ø absorbant à gauche) : soustraire un ensemble de l'ensemble vide donne l'ensemble vide :
\varnothing\setminus B=\varnothing~,
  • D3 (involutivité) : soustraire un ensemble de lui-même donne l'ensemble vide :
A\setminus A=\varnothing~,
  • D4 (généralisation de D2 et D3) : soustraire un sur-ensemble d'un ensemble donne l'ensemble vide, ou, en d'autres termes, pour tout A et tout B, la différence de A et de B est vide si et seulement si A est inclus dans B :
(A\setminus B=\varnothing)\Leftrightarrow(A\subseteq B)~,
  • D5 : soustraire un ensemble d'un autre redonne cet ensemble si et seulement si les deux ensembles sont vides :
 [A\setminus B=B]\Leftrightarrow[(A=\varnothing)\land(B=\varnothing)]~,
  • D6 : les deux ensembles intervenant dans une différence ne sont interchangeables sans modification du résultat que s'ils sont égaux :
(A\setminus B=B\setminus A)\Leftrightarrow(A=B)~,
  • D7 (généralisation de D1 et D2) : soustraire un ensemble B d'un ensemble A redonne A si et seulement si les deux ensembles sont disjoints :
(A\setminus B=A)\Leftrightarrow(A\cap B=\varnothing)~,
  • D8 (réciproque de D2) : soustraire un ensemble B d'un ensemble A donne leur intersection si et seulement si A est vide :
(A\setminus B=A\cap B)\Leftrightarrow (A=\varnothing)~,
  • D9 (réciproque de D1) : soustraire un ensemble B d'un ensemble A donne leur réunion si et seulement si B est vide :
(A\setminus B=A\cup B)\Leftrightarrow(B=\varnothing)~,
  • D10 : si on soustrait un ensemble B d'un ensemble A, le résultat est un sous-ensemble (En mathématiques, un ensemble A est un sous-ensemble ou une partie d’un ensemble B, ou...) de A :
A\setminus B\subseteq A~,
  • D11 (pseudo-distributivité à droite en intersection de la différence par rapport à elle-même) : soustraire successivement deux ensembles B et C d'un ensemble A revient à prendre l'intersection des différences de A et de B, et de A et de C :
(A\setminus B)\setminus C=(A\setminus B)\cap(A\setminus C)~,
  • D12 : soustraire d'un ensemble A la différence de deux ensembles B et C revient à prendre la réunion de la différence de A et de B, et de l'intersection de A et de C :
A\setminus(B\setminus C)=(A\setminus B)\cup(A\cap C)~,
  • D13 : réunir un ensemble C avec la différence de deux ensembles A et B revient à soustraire la différence de B et de C de la réunion de A et de C :
(A\setminus B)\cup C=(A\cup C)\setminus(B\setminus C)~,
  • D14 : soustraire un ensemble C de l'intersection de deux ensembles A et B revient à prendre l'intersection de A avec la différence de B et de C :
(A\cap B)\setminus C=A\cap(B\setminus C)~,
  • D15 (distributivité à droite de la différence par rapport à l'intersection) : soustraire un ensemble C de l'intersection de deux ensembles A et B revient à prendre l'intersection de la différence de chacun de ces ensembles avec C :
(A\cap B)\setminus C=(A\setminus C)\cap(B\setminus C)~,
  • D16 (distributivité à droite de la différence par rapport à la réunion) : soustraire un ensemble C de la réunion de deux ensembles A et B revient à prendre la réunion de la différence de chacun de ces ensembles avec C :
(A\cup B)\setminus C=(A\setminus C)\cup(B\setminus C)~,
  • D17 (pseudo-distributivité à gauche en réunion de la différence par rapport à l'intersection) : soustraire l'intersection de deux ensembles B et C d'un ensemble A revient à prendre la réunion de la différence de A avec chacun des ensembles B et C :
A\setminus(B\cap C)=(A\setminus B)\cup(A\setminus C)~,
  • D18 (pseudo-distributivité à gauche en intersection de la différence par rapport à la réunion) : soustraire la réunion de deux ensembles B et C d'un ensemble A revient à prendre l'intersection de la différence de A avec chacun des ensembles B et C :
A\setminus(B\cup C)=(A\setminus B)\cap(A\setminus C)~.

Cette dernière propriété peut en fait se déduire des précédentes. D14 et D15 peuvent être rapprochées, de même que D12 et D17.

Complémentaires

Définitions

Pour tout ensemble A et tout ensemble B, si B est inclus dans A, alors A \ B se note aussi « A - B » (lire encore « A moins B »), et s'appelle complémentaire relatif de B dans A.

A\setminus B=A-B=\complement_AB=\{x\in A~|~x\notin B\}~.

L'ensemble C = A - B est alors caractérisé par

(B\cup C=A)\land(B\cap C=\varnothing)~,

et les deux ensembles B et C sont dits complémentaires l'un de l'autre dans A.

Si Ω désigne un ensemble de référence fixé et A un ensemble inclus Ω alors Ω - A désigne le complémentaire absolu de A. Il est noté habituellement \overline A (lire « A barre » ou « non A »).

\overline A=\Omega-A=\{x\in \Omega~|~x\notin A\}~.

Propriétés

Pour tout ensemble Ω et tous sous-ensembles A et B de Ω, on a les quatre propriétés suivantes :

\overline{\overline A}=A~,
A\setminus B=A\cap\overline B~,
\overline{A\setminus B}=\overline A\cup B~,
(A\subseteq B)\Leftrightarrow(\overline B\subseteq\overline A)~.
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