Algèbre tensorielle - Définition

Généralisation

Pour tout module M sur un anneau commutatif unitaire A, on construit de la même façon une A-algèbre unitaire graduée . On a encore la propriété universelle qui caractérise l'algèbre tensorielle.

On définit encore l'algèbre symétrique Sym(M) et l'algèbre extérieure ΛM comme dans le cas des espaces vectoriels. L'image de dans Sym(M) (resp. ΛM) est la n-ième puissance symétrique Symⁿ(M) (resp. n-ième puissance extérieure ΛⁿM) de M.

Lorsque M est libre, T(M) (resp. Sym(M)) est isomorphe à l'anneau des polynômes non-commutatif (resp. commutatif) à coefficients dans A à indéterminées indexées par les éléments d'une base.

Pour tout module M de type fini, Sym(M) est une algèbre de type fini sur A. Si M est engendré par d éléments, alors ΛⁿM = 0 pour tout n > d. Si de plus M est libre de rang d, alors ΛⁿM est libre pour tout , Λ^dM est libre de rang 1 et est appelé le déterminant de M.

Soit un homomorphisme d'anneaux commutatifs unitaires et notons qui est un B-module par la multiplication à droite, alors T(M_B) est canoniquement isomorphe à la B-algèbre . Ceci est très utile pour appréhender la structure de T(M) lorsque M n'est pas libre. Cette compatibilité avec l'extension de scalaires reste valable pour les algèbres et puissances symétriques et extérieures.

Applications

L'algèbre symétrique sur un espace vectoriel V est le quotient de son algèbre tensorielle par l'idéal engendré par les commutateurs de la forme :

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Tout choix d'une base pour V identifie son algèbre symétrique avec l'algèbre des polynômes à indéterminées dans la base.

L'algèbre extérieure sur V est le quotient de son algèbre tensorielle par l'idéal engendré par les anticommutateurs de la forme :

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