Algorithme de tri
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Introduction

Un algorithme de tri est, en informatique ou en mathématiques, un algorithme qui permet d'organiser une collection d'objets selon un ordre déterminé. Les objets à trier font donc partie d'un ensemble muni d'une relation d'ordre (de manière générale un ordre total). Les ordres les plus utilisés sont l’ordre numérique (Une information numérique (en anglais « digital ») est une information ayant été quantifiée et...) et l'ordre lexicographique (dictionnaire).

Suivant la relation d'ordre considérée, une même collection d’objet peut donner lieu à divers arrangements, pourtant il est possible de définir un algorithme de tri (Un algorithme de tri est, en informatique ou en mathématiques, un algorithme qui permet d'organiser une collection d'objets selon un ordre déterminé. Les objets à trier font donc partie d'un...) indépendamment de la fonction d’ordre utilisée. Celui-ci ne fera qu'utiliser une certaine fonction d’ordre correspondant à une relation d’ordre qui doit permettre de comparer tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) couple d'éléments de la collection.

Classification

La classification des algorithmes de tri est très importante, car elle permet de choisir l’algorithme le plus adapté au problème traité, tout en tenant compte des contraintes imposées par celui-ci.

On distingue, tout d'abord, les algorithmes de tri d'application générale, procédant par comparaisons entre des paires d'éléments, et les algorithmes plus spécialisés faisant des hypothèses restrictives sur la structure des données entrées (par exemple, le tri par comptage, applicable uniquement si les données sont prises parmi un petit ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble),...) connu à l'avance). Si l'on ne précise rien, on entend habituellement par « algorithme de tri » un algorithme général de tri par comparaison.

Les principales caractéristiques qui permettent de différencier les algorithmes de tri sont : la complexité (La complexité est une notion utilisée en philosophie, épistémologie (par exemple par Anthony Wilden ou Edgar Morin), en physique, en biologie (par...) algorithmique (L'algorithmique est l’ensemble des règles et des techniques qui sont impliquées dans la définition et la conception d'algorithmes, c'est à dire de...), les ressources nécessaires (notamment en termes d'espace mémoire (D'une manière générale, la mémoire est le stockage de l'information. C'est aussi le souvenir d'une information.) utilisé) et le caractère stable.

Complexité algorithmique

  • La complexité algorithmique temporelle dans le pire des cas permet de fixer une borne supérieure du nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) d'opérations qui seront nécessaires pour trier un ensemble de n éléments.
  • La complexité algorithmique temporelle en moyenne : c’est le nombre d'opérations élémentaires effectuées en moyenne pour trier une collection d’éléments. Elle permet de comparer les algorithmes de tris et donne une bonne idée du temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.) d'exécution qui sera nécessaire à l’algorithme ; on arrive à l'estimer avec une précision assez importante. Toutefois, si les ensembles à trier ont une forme particulière et ne sont pas représentatifs des n ! combinaisons possibles, alors les performances pourront être très inférieures ou très supérieures à la complexité « moyenne ».
  • La complexité algorithmique spatiale (en moyenne ou dans le pire des cas) représente, quant à elle, l’utilisation mémoire que va nécessiter l'algorithme. Celle-ci peut dépendre, comme le temps d'exécution, du nombre d'éléments à trier.

La complexité, généralement notée T, est exprimée en fonction du nombre n d'éléments à l'aide des notations de Landau : O et Θ. Pour certains des algorithmes de tri les plus simples, T(n) = O(n2), pour les tris plus élaborés, T(n) = O(n·log(n)).

On peut montrer que la complexité temporelle en moyenne et dans le pire des cas d’un algorithme basé sur une fonction de comparaison ne peut pas être meilleure que n·log(n). Les tris qui ne demandent que n·log(n) comparaisons en moyenne sont alors dits optimaux.

Pour certains types de données (entiers, chaînes de caractères de taille bornée), il existe cependant des algorithmes plus efficaces au niveau du temps d'exécution, comme le tri comptage ou le tri par base. Ces algorithmes n'utilisent pas la comparaison entre éléments (la borne n·log(n) ne s'applique donc pas pour eux) mais nécessitent des hypothèses sur les objets à trier. Par exemple, le tri comptage et le tri par base s'appliquent à des entiers que l'on sait appartenir à l'ensemble [1, m] avec comme hypothèse supplémentaire pour le tri par base que m soit une puissance (Le mot puissance est employé dans plusieurs domaines avec une signification particulière :) de 2 (c’est-à-dire de la forme 2k).

Caractère en place

Un algorithme est dit en place s'il n'utilise qu'un nombre très limité de variables et qu’il modifie directement la structure qu’il est en train (Un train est un véhicule guidé circulant sur des rails. Un train est composé de plusieurs voitures (pour transporter des personnes) et/ou de plusieurs wagons (pour transporter des marchandises), et...) de trier. Ceci nécessite l’utilisation d'une structure de donnée (Dans les technologies de l'information (TI), une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction d'affaire, d'un événement, etc.) adaptée (un tableau (Tableau peut avoir plusieurs sens suivant le contexte employé :) par exemple). Ce caractère peut être très important si on ne dispose pas d'une grande quantité (La quantité est un terme générique de la métrologie (compte, montant) ; un scalaire, vecteur, nombre d’objets ou d’une autre manière de dénommer la valeur d’une collection ou un groupe de choses.) de mémoire utilisable.

Remarquons toutefois qu'en général, on ne trie pas directement les données elles-mêmes, mais seulement des références (ou pointeurs) sur ces dernières.

Caractère stable

Un algorithme est dit stable s'il garde l'ordre relatif des quantités égales pour la relation d'ordre.

Exemple, si on considère la suite d’éléments suivante :

      (4, 1)  (3, 1)  (3, 7)  (5, 6)      

que l'on trie par rapport à leur première coordonnée (la clé), deux cas sont possibles, quand l’ordre relatif est respecté et quand il ne l'est pas :

      (3, 1)  (3, 7)  (4, 1)  (5, 6)   (ordre relatif maintenu)      (3, 7)  (3, 1)  (4, 1)  (5, 6)   (ordre relatif changé)      

Lorsque deux éléments sont égaux pour la relation d'ordre (c’est-à-dire qu'ils ont la même clé), l'algorithme de tri conserve l'ordre dans lequel ces deux éléments se trouvaient avant son exécution. Les algorithmes de tri instables peuvent être retravaillés spécifiquement afin de les rendre stables, cependant cela peut être aux dépens de la rapidité et/ou peut nécessiter un espace mémoire supplémentaire.

Parmi les algorithmes listés plus bas, les tris étant stables sont : le tri à bulles, le tri par insertion et le tri fusion (En physique et en métallurgie, la fusion est le passage d'un corps de l'état solide vers l'état liquide. Pour un corps pur, c’est-à-dire pour une substance constituée de molécules toutes identiques, la fusion s'effectue à...). Les autres algorithmes nécessitent O(n) mémoire supplémentaire pour stocker l'ordre initial des éléments.

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