Anneau de valuation discrète - Définition
Source: Wikipédia sous licence CC-BY-SA 3.0.
La liste des auteurs de cet article est disponible ici.
La liste des auteurs de cet article est disponible ici.
Propriétés
Dans tout le paragraphe A désigne un anneau de valuation discrète, au sens "anneau principal possédant un seul idéal maximal M non nul", et t désigne une uniformisante, c'est-à-dire que M = t A.
-
- Tout élément de A qui n'est pas dans M est une unité, c'est-à-dire un élément inversible.
En effet, dans un anneau commutatif, un élément est inversible si et seulement s'il n'appartient à aucun idéal maximal.
-
- Les seuls idéaux premiers de A sont (0) et M.
En effet, dans un anneau principal, tout idéal premier non nul est maximal.
-
- Tout élément non nul de A est le produit d'un inversible par une puissance de l'uniformisante.
C'est un cas particulier de la décomposition en facteurs premiers dans un anneau principal (ou plus généralement dans un anneau factoriel), puisqu'ici t est l'unique élément irréductible de l'anneau, à produit près par un inversible. On en déduit (puisque les idéaux sont principaux) que tout idéal non nul est une puissance de M.
