Arithmétique élémentaire - Définition

Généralisations

Anneau euclidien

Les questions d'arithmétiques sur les entiers s'avèrent rapidement complexes, Gauss, un mathématicien du XIX^e siècle, indiquait : « Leurs charmes particuliers vient de la simplicité des énoncés jointe à la difficulté des preuves. ». D'autres idées sont nécessaires pour aller plus loin. Une méthode consiste à construire de nouveaux ensembles. Cette méthode est illustrée dans l'article Théorème des deux carrés de Fermat. Pour résoudre l'équation X² + Y² dans Z, on ne cherche cette fois plus les solutions dans Z, mais dans l'ensemble des nombres de la forme a + i.b, où a et b sont des entiers et i l'unité imaginaire. Un élément de cet ensemble porte le nom d'entier de Gauss.

Un des charmes de cet ensemble est qu'il existe encore une division euclidienne. Les démonstrations des résultats énoncés dans cet article s'appliquent presque sans modification au nouvel ensemble. Les nombres premiers, cette fois sont un peu différents, 2 n'est pas premier car (1 + i)(1 - i) est égal à 2, en revanche, 1 + i l'est. La résolution de l'équation y est beaucoup plus facile. Cette démarche permet, par exemple, de construire une arithmétique du nombre d'or, et de démontrer la loi d'apparition des nombres premiers dans la suite de Fibonacci.

Cette logique permet aussi de construire une arithmétique des polynômes, à l'origine de résolutions d'équations algébriques complexes, comme l'équation cyclotomique.

Arithmétique modulaire

Une autre idée essentielle consiste encore à créer de nouveaux ensembles de nombres, mais cette fois en s'y prenant différemment. Les nombres sont les restes d'une division euclidienne par un entier, souvent choisi premier. Les éléments de ce nouvel ensemble portent le nom de congruence sur les entiers. L'usage de cet ensemble est en filigrane dans le test de primalité recherché. Il permet de démontrer simplement la généralisation d'Euler du petit théorème de Fermat, et par la même occasion introduit la fonction indicatrice d'Euler, qui joue un rôle important en arithmétique.

Un exemple de résultat arithmétique obtenu avec ce type de méthode est la loi de réciprocité quadratique qui permet de résoudre des équations diophantiennes comme X² + p.Y + n = 0, où p est un nombre premier et n un entier.