Unité imaginaire - Définition

Introduction

En mathématiques, l’unité imaginaire est un nombre complexe, noté i, dont le carré vaut − 1. Ses multiples par des nombres réels constituent les nombres imaginaires purs.

Constructions

Puisque tous les nombres réels ont un carré positif, l'unité imaginaire ne peut être considérée comme un point de la droite réelle. Il existe plusieurs façons de la définir.

Sa première apparition était sous la forme de , écriture qui n'a pas de sens dans les nombres réels (et qui n'est d'ailleurs pas utilisée non plus dans les nombres complexes), mais qui traduisait sa propriété fondamentale. Une formalisation acceptable de cette construction n'est apparue que beaucoup plus tard, dans un quotient de l'anneau des polynômes réels par l'idéal engendré par le polynôme X² + 1 :

• Si on prend X réel, X² + 1 = 0 n'admet pas de solution.

• Si on imagine un nombre i tel que i² = − 1, et qu'on exprime X = a + ib, alors l'équation X² + 1 = 0 possède deux solutions : a = 0, b = 1 et a = 0, b = − 1. Autrement dit, la droite d'abscisses représentant les réels a été étendue à un plan × (appelé plan complexe ) contenant les points (a;b), et l'expression X² + 1 correspondante s'annule pour les points (0;1) et (0; − 1). Par convention, on choisit le point (0;1) comme représentation de l'unité imaginaire i (l'autre point étant son opposé, d'affixe − i).

(Une représentation graphique complète de X² + 1 dans le domaine complexe nécessiterait 4 dimensions : 2 pour X et 2 pour la valeur complexe de l'expression de X² + 1.)

Le nombre imaginaire i est donc un outil mathématique pour apporter des solutions supplémentaires à certaines équations, en ajoutant une dimension aux nombres réels (remplacement d'une droite par un plan) ; les nombres comportant un multiple de cette unité imaginaire sont appelés nombres complexes.

i et la formule d'Euler

La formule d'Euler donne :

Où x est un nombre réel. La formule peut alors être analytiquement étendue pour un complexe z :

remplaçons x par π

et on obtient donc l'identité d'Euler :

C'est une équation remarquablement simple mettant en scène cinq nombres mathématiques très importants (0, 1, π, e et i) reliés uniquement par des additions, multiplications et exponentiations.

Propriétés de i

Son opposé est à la fois son inverse et son conjugué : . Son module est égal à 1. Il vérifie aussi l'égalité ( − i)² = − 1, mais le choix de l'unité imaginaire est lié à l'orientation du plan complexe.

Ses images par les fonctions trigonométriques s'écrivent :

i est une racine de l'unité d'ordre 4, donc ses puissances sont

De plus, on peut se demander : pourquoi avoir noté cette unité i ?

Si on avait laissé la notion de , on aurait dû appliquer toutes les lois s'appliquant à la racine carrée :

Mais aussi :

Et donc − 1 = 1, ce qui pose réellement problème. Ainsi, c'est presque deux siècles après l'apparition de l'unité imaginaire qu'Euler réforme l'écriture de ce nombre en posant : i² = − 1