Arithmétique des polynômes - Définition et Explications

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Introduction

En algèbre, l'arithmétique des polynômes décrit les propriétés des polynômes qui peuvent se déduire de l'arithmétique et qui sont un peu analogues à celles des nombres entiers. Par exemple, l'anneau des polynômes K[X] à une indéterminée (En mathématiques, une indéterminée est le concept permettant de formaliser des...) X et à coefficients dans un corps commutatif K dispose d'une division euclidienne (En mathématiques, et plus précisément en arithmétique, la division euclidienne...). Si le lecteur n'est pas familier avec les structures de corps et d'anneau, il peut considérer K comme une lettre symbolisant l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection...) des nombres réels ou complexes. La division (La division est une loi de composition qui à deux nombres associe le produit du premier par...) euclidienne est à l'origine des théorèmes clés de l'arithmétique élémentaire (L’arithmétique élémentaire regroupe les rudiments de la connaissance des...). Il en est de même pour l'arithmétique des polynômes (En algèbre, l'arithmétique des polynômes décrit les propriétés des...). On démontre de la même manière l'identité de Bézout, le lemme d'Euclide (Euclide, en grec ancien Εὐκλείδης...) ou un équivalent du théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une...) fondamental de l'arithmétique (L'arithmétique est une branche des mathématiques qui comprend la partie de la...), les polynômes irréductibles et unitaires prenant alors la place des nombres premiers.

Ces résultats ne s'appliquent plus de la même manière si les coefficients sont choisis dans un ensemble A comme celui des nombres entiers, où les éléments ne sont pas toujours inversibles pour la multiplication (La multiplication est l'une des quatre opérations de l'arithmétique élémentaire...). L'étude de cette configuration demande l'usage (L’usage est l'action de se servir de quelque chose.) d'un attirail d'outils mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide...) plus puissants. Ils permettent de montrer que si l'identité de Bézout n'est plus vérifiée, un équivalent du théorème fondamental de l'arithmétique reste encore valable. Cette propriété reste vraie si l'anneau comporte plusieurs indéterminées. Autrement dit, si A est un anneau factoriel (En mathématiques, un anneau factoriel est un cas particulier d'anneau commutatif, unitaire et...), l'anneau des polynômes à coefficients dans A est aussi factoriel, quel que soit le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre...) d'indéterminées. Dans certains cas, l'anneau A n'est pas factoriel mais juste noethérien. À condition que l'anneau des polynômes ne contienne qu'un nombre fini d'indéterminées, il est aussi noethérien.

Ces différents résultats sont à l'origine de théorèmes fondateurs de diverses branches de l'algèbre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche...). La théorie de Galois (En mathématiques et plus précisément en algèbre, la théorie de Galois est...) s'appuie sur la structure euclidienne de K[X], la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer,...) algébrique des nombres fait usage du caractère factoriel et noethérien d'un anneau de polynômes à une ou plusieurs indéterminées sur un anneau factoriel. Enfin, des théorèmes comme celui de la base de Hilbert (Une base de Hilbert ou encore base hilbertienne est une généralisation aux espaces de Hilbert de...) ou le Nullstellensatz, essentiels en géométrie algébrique (La géométrie algébrique est un domaine des mathématiques qui, historiquement,...), sont des conséquences directes de l'arithmétique des polynômes.

Corps commutatif

Dans le reste de l'article K désigne un corps commutatif. Ce corps peut être égal à Q celui des nombres rationnels, R celui des réels ou C pour les complexes, ou encore un corps fini (En mathématiques et plus précisément en algèbre, un corps fini est un corps...). Dans ce paragraphe tous les polynômes sont en une indéterminée et à coefficients dans K, l'anneau de ces polynômes est noté K[X]. L'anneau K[X] possède une division euclidienne (cf l'article Division d'un polynôme) et comme pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou...) anneau euclidien (En mathématiques et plus précisément en algèbre, dans le cadre de la...), les conséquences sont multiples. Elles sont exactement semblables à celle traitées dans l'article arithmétique élémentaire, qui traite de l'arithmétique des nombres entiers.

Il est possible d'exprimer ces résultats sous deux formes, la première et la plus simple est celle utilisé dans l'article arithmétique élémentaire. La deuxième, emploie le vocabulaire de la théorie des anneaux (En mathématiques, la théorie des anneaux s'occupe d'anneaux.), c'est-à-dire des termes comme idéal (En mathématiques, un idéal est une structure algébrique définie dans un anneau....), idéal principal, premier ou encore maximal. L'article explicite les résultats dans les deux langages.

Identité de Bézout

Suivre le plan de l'article Arithmétique élémentaire, suppose dans une premier temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le...) de s'intéresser aux sous-ensembles de K[X] non vide (Le vide est ordinairement défini comme l'absence de matière dans une zone spatiale.) et stable pour l'addition (L'addition est une opération élémentaire, permettant notamment de décrire la...) et la soustraction (La soustraction est l'une des opérations basiques de l'arithmétique. La soustraction...). Pour que les conséquences soient aussi riche que dans l'article sur les entiers, il est nécessaire d'ajouter la stabilité de l'ensemble par multiplication par un polynôme (Un polynôme, en mathématiques, est la combinaison linéaire des produits de...) quelconque. On obtient le résultat suivant :

Sous-ensemble (En mathématiques, un ensemble A est un sous-ensemble ou une partie d’un ensemble B, ou...) stable — Un sous-ensemble M non vide de K[X] est stable par addition, soustraction et multiplication par un polynôme quelconque si, et seulement si, il existe un polynôme m tel que M soit l'ensemble des multiples de m.

En termes de théorie des anneaux, ce résultat indique que K[X] est un anneau principal (Les anneaux principaux forment un type d'anneaux important dans la théorie mathématique...), ce qui est le cas de tout anneau euclidien. La démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir...) se trouve dans l'article Anneau euclidien.

La conséquence directe est :

Identité de Bézout — Soit P et Q deux polynômes, P et Q sont premiers entre eux si, et seulement si, il existe deux polynômes M et N tel que :

P\cdot M + Q\cdot N = 1

Il devient nécessaire de définir l'expression polynômes premiers entre eux. Deux polynômes sont premiers entre eux lorsque les seuls polynômes qui les divisent tous les deux sont les polynômes constants non nuls. Cette définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la...) est très proche de celle des entiers qui sont premiers entre eux lorsque les seuls diviseurs communs sont 1 et -1, c'est-à-dire les éléments inversibles de l'anneau.

Dans le vocabulaire des anneaux, l'identité se traduit un peu différemment. Soit A et B deux idéaux de K[X], si l'intersection de A et de B est égal au produit des idéaux A.B (ce qui est l'équivalent de l'expression premiers entre eux), alors l'idéal A + B est égal à K[X].

Polynôme irréductible

Continuer l'analogie avec l'arithmétique élémentaire demande à ce niveau de disposer d'un équivalent des nombres premiers. Dans Z, un nombre premier (Un nombre premier est un entier naturel qui admet exactement deux diviseurs distincts entiers et...) n'est divisible que par 1, -1 ou le produit d'un de ces deux éléments et de lui-même. Cependant ces nombres ne sont que qualifiés d'irréductibles. Pour qu'ils soient déclarés premiers il faut en plus qu'ils soient positifs. Ce qui caractérise un nombre premier, ce sont ces multiples, or 2 et -2 ont le même ensemble de multiples, ce qui forme une classe d'équivalence dont la relation R est définie par : a et équivalent à b lorsque a et b possèdent le même ensemble de multiples. Dans le cas général, deux éléments d'un anneau a et b sont équivalents, ou encore ont le même ensemble de multiples, s'il existe un élément c inversible pour la multiplication, tel que a.c = b. Dans Z, les deux seuls éléments inversibles sont 1 et -1. On dit qu'ils sont éléments du groupe des unités et les éléments inversibles sont dits des unités. La relation d'équivalence est étudiée dans l'article Groupe des unités. Dans le cas des polynômes :

Groupe des unités de K[X] — Le groupe des unités de K[X] est formé par les polynômes constants non nuls.

On en déduit une définition pour les polynômes, presque équivalente à celle des nombres premiers :

Polynôme irréductible — Un polynôme est dit irréductible lorsqu'il n'est pas inversible et que ses diviseurs sont, soit des polynômes constants inversibles, soit le produit de lui-même par un polynôme constant.

On dispose, par exemple de la proposition :

Polynôme du premier degré — Un polynôme du premier degré est toujours irréductible.

Pour exprimer l'équivalent théorème fondamental de l'arithmétique, il est important de choisir un unique nombre premier dans chaque classe d'équivalence, pour la relation R, de nombres irréductibles. Dans Z, il suffit d'indiquer qu'un nombre irréductible est dit premier s'il est positif, car chaque classe d'équivalence contient deux éléments : a et son opposé ( En mathématique, l'opposé d’un nombre est le nombre tel que, lorsqu’il est à...) -a. La même relation d'équivalence dans K[X] existe et la classe d'équivalence d'un polynôme P est l'ensemble des polynômes k.P si k décrit tous les éléments de K non nuls. Pour exprimer l'équivalent du théorème fondamental de l'arithmétique, on choisit généralement l'élément de la classe qui est unitaire, c'est-à-dire celui dont le coefficient (En mathématiques un coefficient est un facteur multiplicatif qui dépend d'un certain...) du monôme (À la fin XIXe siècle, le monôme était une manifestation étudiante sous la forme d'un...) dominant (celui du plus haut degré) est égal à 1. Dans chaque classe d'équivalence de polynôme irréductible, il n'existe en effet qu'un unique polynôme unitaire.

Théorème fondamental de l'arithmétique

Avant d'énoncer le théorème fondamental, un premier lemme est utile :

Lemme d'Euclide — Soit P un polynôme irréductible et A, B deux polynômes. Si le produit des deux polynômes A.B est un multiple de P, alors soit A soit B est un multiple de P.

En termes d'anneau, ce résultat s'exprime comme par : Si un idéal premier I contient le produit de deux idéaux A et B il est contient soit A soit B , proposition toujours vraie dans un anneau principal (cf l'article Idéal premier).

On obtient finalement le théorème suivant :

Décomposition (En biologie, la décomposition est le processus par lequel des corps organisés, qu'ils...) en facteurs irréductibles — Un polynôme non nul se décompose de manière unique, à l'ordre près, en un produit comportant un polynôme constant et des polynômes unitaires irréductibles.

Autrement dit, en termes d'anneau, K[X] est factoriel, car tout anneau principal est factoriel (cf l'article Anneau factoriel).

Arithmétique modulaire (En mathématiques et plus précisément en théorie algébrique des nombres,...)

Une structure digne d'intérêt sur les entiers est celle du quotient Z/nZ. Un élément de ce quotient est représenté par un reste de division euclidienne d'un entier quelconque par n, on trouve toujours un représentant unique d'une congruence modulo ( En arithmétique modulaire, on parle de nombres congrus modulo n Le terme modulo peut aussi...) n dans les entiers positifs strictement plus petit que n. Si p est un entier irréductible (c'est-à-dire un nombre premier ou son opposé), la structure Z/pZ est un corps, autrement dit, tout élément non nul de Z/pZ est inversible.

Soit P un polynôme irréductible, il est tentant de considérer les polynômes de K[X] modulo P. On obtient une structure avec une addition et une multiplication, qui vérifie toutes les propriétés d'un anneau commutatif unitaire, exactement comme celle décrite dans l'article Congruence sur les entiers. On dispose encore de la propriété :

Congruence sur K[X] modulo un polynôme irréductible —  Si P est un polynôme irréductible de K[X], toute congruence modulo P non nul possède un inverse pour la multiplication.

Notons L la structure des congruences sur les polynômes de K[X] modulo P. Comme tout élément différent de 0 est inversible pour la multiplication, on dit que c'est un corps. Il est appelé le corps de rupture de K. Ce corps dispose d'une propriété remarquable :

Corps de congruence, vu comme un espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est un ensemble muni d'une structure permettant...) — Le corps L dispose d'une structure de K espace vectoriel de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une...) le degré de P.

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