Carré
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Construction au compas seul

Dessin au compas

On souhaite construire le carré de sommets ABCD connaissant seulement les points A et B. Posons R la distance entre Aet B ; alors, on procède comme suit :

  • On trace (TRACE est un télescope spatial de la NASA conçu pour étudier la connexion entre le champ magnétique à petite échelle du Soleil et la...) C1le cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance est appelée rayon du cercle. Celui-ci...) de centre A et de rayon R (qui contient alors B)

\Rightarrow on a un troisième point (Graphie) du carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses quatre côtés ont la même longueur et ses quatre angles la même mesure. Un carré est à la fois un...) sur cette courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple, les droites, les segments, les lignes polygonales et les cercles sont des courbes.).

  • On trace C2 le cercle de centre B et de rayon R (qui contient alors A)

\Rightarrow le quatrième point du carré se trouve sur cette courbe.

  • Posons G un point d'intersection de C1 avec C2 ; on construit alors C3 centré en G et de rayon R. Ce cercle intersecte C1 en B et en un autre point H.
  • C4, de centre H et de rayon R, intersecte C1 en G et en un nouveau point I.
  • Posons S la distance entre G et I ; on construit alors C5 de centre I et de rayon S (il contient forcément G).
  • C6 s'obtient en prenant pour centre B et pour rayon S (il contient forcément H). On note J le point d'intersection entre C6 et C5 qui est du même côté que G par rapport à la droite AB.
  • Si T est la distance entre A et J, on construit C7 le cercle de centre A et de rayon T (il contient forcément J).

\Rightarrow Le point C est obtenu par intersection entre C7 et C2.

  • On construit alors C8 de centre C et de rayon R.

\Rightarrow L'intersection de C8 et C1 est le point D.

Symétries

Les transformations laissant un carré invariant sont de deux types :

  • les symétries axiales, dont l'axe est soit une diagonale (On appelle diagonale d'un polygone tout segment reliant deux sommets non consécutifs (non reliés par un côté). Un polygone à n côtés possède diagonales.) du carré, soit une médiatrice (En géométrie plane, la médiatrice d'un segment est l'ensemble des points équidistants des extrémités du segment. Cet...) d'un côté ;
  • les rotations dont le centre est le centre du carré et dont l'angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.) est un multiple de l'angle droit.

En voici la liste, elles sont au nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) de huit et forment un groupe :

Group D8 id.svg
id (identité : chaque point est conservé)
Group D8 90.svg
r1 (rotation de 90° vers la droite)
Group D8 180.svg
r2 (rotation de 180°)
Group D8 270.svg
r3 (rotation de 270° vers la droite)
Group D8 fv.svg
fv (retournement vertical)
Group D8 fh.svg
fh (retournement horizontal)
Group D8 f13.svg
fd (retournement suivant la première diagonale)
Group D8 f24.svg
fc (retournement suivant la deuxième diagonale)
Les éléments du groupe de symétrie (D4). Les sommets sont colorés et numérotés uniquement pour visualiser les transformations.

Toute droite passant par O divise le carré en deux parties superposables.

Histoire

La tablette d'argile (L'argile (nom féminin) est une roche sédimentaire, composée pour une large part de minéraux spécifiques, silicates en général...) YBC 7289 : une très ancienne (environ 1700 avant J.-C.) représentation d'un carré avec ses diagonales et une valeur approchée de √2 (crédits : Bill Casselman).

Des poteries décorées de carrés sont attestées dès le VIe millénaire av. J.-C. en Mésopotamie.

Des tablettes démontrent la connaissance des symétries et rotations du carré vers le XVIIIe siècle av. J.-C.. La tablette BM 15285 contient une quarantaine (La quarantaine (venant de l'italien : quaranta giorni, qui signifie 40 jours, ou bien du français : quarantaine de jours) est le fait de...) de problèmes mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures,...) concernant des aires (Aires (en espagnol, les airs) est une compagnie aérienne intérieure de Colombie.) de figures liées à des carrés.

Le Talmud recommande de bâtir des villes de forme carrée, quelle que soit la forme de son enceinte.

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