Copule (mathématiques) - Définition

Source: Wikipédia sous licence CC-BY-SA 3.0.
La liste des auteurs de cet article est disponible ici.

- Introduction - Aspects probabilistes des copules - Aspects statistiques - Quelques copules classiques

Introduction

En statistiques, une copule est un objet mathématique venant de la théorie des probabilités. La copule permet de caractériser la dépendance entre les différentes coordonnées d'une variable aléatoire à valeurs dans $\R^d$ sans se préoccuper de ses lois marginales.

Aspects probabilistes des copules

Une copule est une fonction de répartition, notée $\mathcal{}C$ , définie sur $\mathcal{}[0,1]^d$ dont les marges sont uniformes sur $\mathcal{}[0,1]$ . Une caractérisation est alors que $\mathcal{}C(u_1,...,u_d)=0$ si une des composantes $\mathcal{}u_i$ est nulle, $\mathcal{}C(1,...,1,u_i,1,...,1)=u_i$ , et $\mathcal{}C$ est $\mathcal{}d$ - croissante.

En dimension $2$ , $\mathcal{}C(0,v)=C(u,0)=0$ pour tout $\mathcal{}u$ et $\mathcal{}v$ , $\mathcal{}C(u,1)=u$ et $\mathcal{}C(1,v)=v$ , pour tout $\mathcal{}u$ et $\mathcal{}v$ , et enfin, la propriété de $2$ croissante se traduit par $\mathcal{}C(u_1,v_1)-C(u_1,v_2)-C(u_2,v_1)+C(u_2,v_2)\geq0$ .

L'interprétation de cette notion de croissance se fait en notant que si $\mathcal{}(U,V)$ admet pour fonction de répartition $\mathcal{}C$ , $\mathcal{}\Pr(u_1<U<u_2,v_1<V<v_2)=C(u_1,v_1)-C(u_1,v_2)-C(u_2,v_1)+C(u_2,v_2)\geq0$ , la mesure $\mathcal{}\Pr$ étant nécessairement positive.

Le théorème de Sklar dit que si $\mathcal{}C$ est une copule, et si $\mathcal{}F_1,...,F_d$ sont des fonctions de répartition (univariées), alors $\mathcal{}F(x_1,...,x_d)=C(F_1(x_1),...,F_d(x_d))$ est une fonction de répartition de dimension $\mathcal{}d$ , dont les marges sont précisément $\mathcal{}F_1,...,F_d$ .

Et réciproquement, si $\mathcal{}F$ est une fonction de répartition en dimension $\mathcal{}d$ , il existe une copule $\mathcal{}C$ telle que $\mathcal{}F(x_1,...,x_d)=C(F_1(x_1),...,F_d(x_d))$ , où les $\mathcal{}F_i$ sont les lois marginales de $\mathcal{}F$ .

Si ces lois marginales sont toutes continues, la copule $\mathcal{}C$ est alors unique, et donnée par la relation $\mathcal{}C(u_1,...,u_d)=F(F_1^{-1} (u_1),...,F_d^{-1} (u_d))$ . Dans ce cas, on pourra alors parler de la copule associée à un vecteur aléatoire $\mathcal{}(X_1,...,X_d)$ .

La copule d'un vecteur aléatoire $\mathcal{}(X_1,...,X_d)$ est alors la fonction de répartition du vecteur aléatoire $\mathcal{}(F_1(X_1),...,F_d(X_d))$ , que l'on notera parfois $\mathcal{}(U_1,...,U_d)$ .

Aspects statistiques

D'un point de vue statistique, les copules apparaissent naturelles comme la distribution des rangs.

Les copules apparaissent dans les espaces métriques de probabilité ou en logique floue (fuzzy logic).

Liens externes

Quelques copules classiques

Parmi les copules usuelles, la copule produit $\mathcal{}\Pi(u_1,...,u_d)=u_1...u_d$ (on parlera aussi de copule indépendante). $\mathcal{}(X_1,...,X_d)$ a des composantes indépendantes si et seulement si $\mathcal{}\Pi$ est une copule du vecteur $\mathcal{}(X_1,...,X_d)$ .

Cop-indep-3d.jpg

Copule indépendante

La copule comonotone, ou copule du minimum, est définie par $\mathcal{}M(u_1,...,u_d)=min\{u_1,....,u_d\}$ . $\mathcal{}M$ est une copule du vecteur $\mathcal{}(X_1,...,X_d)$ si et seulement s'il existe des transformations croissantes $\mathcal{}g_{i,j}$ telles que $\mathcal{}X_i=g_{i,j}(X_j)$ . Cette copule correspond à la borne supérieur de Fréchet-Hoeffding, au sens où pour toute copule $\mathcal{}C$ , $C(u_1,...,u_d)\leq M(u_1,...,u_d)$ .

Copule comonotone

Une classe particulièrement importante de copule est celle des copules Archimédiennes, définies par $\mathcal{}C(u_1,...,u_d)=\phi^{-1}(\phi(u_1)+...+\phi(u_d))$ , où $\mathcal{}\phi$ (appelé générateur de la copule Archimédienne) est au moins $\mathcal{}d-2$ fois continument dérivable, dont la dérivé $\mathcal{}d-2$ est décroissante convexe, et telle que $\mathcal{}\phi(1)=0$ .

Ce générateur est unique à une constante (positive) multplicative près. Une sous classe relativement large est obtenue lorsque $\mathcal{}\phi$ est l'inverse d'une transformée de Laplace (et une interprétation factorielle est alors possible). Parmi les cas particuliers,

la copule indépendante obtenue lorsque $\mathcal{} \phi(t) = -\log(t)$ ,

la copule de Clayton obtenue lorsque $\mathcal{} \phi(t) = \frac{t^{-\alpha}-1}{\alpha}$ , avec $\mathcal{}\alpha\geq -1$ . Le générateur est alors l'inverse de la transformée de Laplace de la loi Gamma. Cette copule est la seule copule Archimédienne invariante par troncature,

la copule de Gumbel obtenue lorsque $\mathcal{} \phi(t) = (-\log(t)) ^\alpha$ , avec $\mathcal{}\alpha\geq 0$ .

Le générateur est alors l'inverse de la transformée de Laplace de la loi stable. Cette copule est la seule copule Archimédienne vérifiant une propriété de max-stabilité, c’est-à-dire $\mathcal{}C(u^n_1,...,u^n_d)=C^n(u_1,...,u_d)$ , pour tout $\mathcal{}n\geq 1$ ,

la copule de Frank obtenue lorsque $\mathcal{} \phi(t) = -\log\frac{e^{-\alpha t}-1 }{e^{-\alpha }-1 }$ . Cette copule est la seule qui soit symétrique dans la queue inférieure et supérieure,

Cop-Frank-density.JPG

Copule de Frank

Cop-Clayton-density.JPG

Copule de Clayton

Cop-Gumbel-density.JPG

Copule de Gumbel

Copule de Frank

Copule de Clayton

Copule de Gumbel

Les copules elliptiques...

Copule Gaussienne

Copule de Student (t)

- Introduction - Aspects probabilistes des copules - Aspects statistiques - Quelques copules classiques

Les océans de la Terre n'avaient autrefois pas du tout la même couleur 🌊

Une cartographie inédite révèle la consommation énergétique du cerveau 🧠

Des chercheurs ont intercepté et décodé "facilement" des messages sous-marins depuis les airs ✈️

Voici pourquoi les femmes ressentent plus de douleur chronique que les hommes 🧐

Un immense iceberg se détache et révèle ce surprenant écosystème caché depuis des siècles 🦑

Un colibri imite une chenille pour survivre: découvrez cette stratégie étonnante 🐦

Cette forme de vie géante ne ressemble à rien d'autre de connu 🌎

Recherche: cette nouvelle molécule se montre terriblement efficace contre la calvitie 🔬

Des tardigrades génétiquement modifiés pour survivre... sur le Soleil ☀️

Or, cuivre... pourquoi ces métaux précieux se trouvent dans les zones de subduction ? 🌋

Une avancée majeure dans la supraconductivité à haute température 🌡️

Les chimpanzés fabriquent leurs outils comme des ingénieurs 🛠️

Mach 16: des surprises physiques découvertes dans les vols hypersoniques 🚀

Des scientifiques ont réussi à filmer la séparation des brins de l'ADN 🧬

Comment 13 degrés peuvent transformer une foule en chaos ? 🚶‍♂️

Découverte: les phoques savent évaluer la quantité d'oxygène dans leur sang 🤿

Les trous noirs pourraient-ils protéger la vie dans l'Univers ? 🌱

Implants mammaires en silicone: une toxicité remise en question

Découverte d'un "broyeur d'étoiles" dans notre galaxie 🌀

Neandertal et Sapiens: une collaboration inattendue il y a 100 000 ans 🤝

Que sont ces sphères noires découvertes sur Mars ? 🔴

Découverte: les champignons contre... la grippe 🍄

Découverte inédite: voici comment notre cerveau attache les souvenirs entre eux 🖇️

Découverte: les requins émettent des sons ! 🦈

Des scientifiques inventent un ciment qui aspire le CO2 🌎

Comment le cerveau décode le temps: du récit aux réseaux neuronaux 🕰️

Horloge atomique dans son smartphone et GPS 1000 fois plus précis ⏱️

L'ocytocine: l'hormone de l'amour ou simple mythe ? 💕

Cette nouvelle méthode permettrait d'identifier une vie extraterrestre inattendue 👽

Une araignée géante filmée dans les abysses de l'Antarctique 🕷️

Trois familles d'objets planétaires identifiées dans le Système Solaire externe 🔭

Découverte d'une griffe géante à 2 doigts appartenant à une nouvelle espèce de dinosaure 🦖

Un nouvelle technologie de vaisseaux nucléaires pour explorer le Système solaire 🚀

Votre cerveau se consomme lui-même pour rechercher de l'énergie, pendant un exercice intense 🏃

Des vestiges organiques découverts sur Mars 🧐

Pourquoi les armes nucléaires sont-elles si difficiles et dangereuses à produire ? 💥

MRAM: la mémoire informatique du futur enfin là ? ⚡

Vidange d'un lac glaciaire: la catastrophe du Sikkim en 2023 expliquée 🌊

Qu'est-ce qui a bien pu creuser ces tunnels il y a plusieurs millions d'années ? ⛏️

Les secrets biologiques de Maria Branyas Morera, la supercentenaire 🕰️

Exploiter la rotation terrestre pour produire de l'électricité: l'énergie verte de demain ? ⚡

Que nous apprennent ces émissions radioactives de météorites lunaires et martiennes ? ☢️

La Chine dévoile un processeur quantique fiable à 99.9% 🚀

Voici les emblématiques espèces éteintes que la science pourrait bientôt ressusciter 🦣

Un poisson de 15 millions d'années incroyablement préservé 🐟

Existence démontrée d'un lien entre muscles, cerveau et fertilité 💪

Prévision météo: une petite IA surclasse les plus gros supercalculateurs 🌤️

Cette fosse commune révèle une histoire de violence extrême et de respect ⚔️

Cette nouvelle cellule solaire dure 10 fois plus longtemps 🌞

Des poulets aux plumes de dinosaures: une expérience génétique étonnante 🐔

Page générée en 0.131 seconde(s) - site hébergé chez Contabo
Ce site fait l'objet d'une déclaration à la CNIL sous le numéro de dossier 1037632
A propos - Informations légales
Version anglaise | Version allemande | Version espagnole | Version portugaise