Fenêtre de tir
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Introduction

Une fenêtre de tir en astronautique est la période pendant laquelle les conditions optimales pour le lancement d'une fusée sont réunies.

Soit la Terre supposée sphérique. Le champ gravitationnel est donc central et en \scriptstyle{ 1/r^2 }. L'orbite (En mécanique céleste, une orbite est la trajectoire que dessine dans l'espace un corps autour d'un autre corps sous l'effet de la gravitation.) d'un satellite (Satellite peut faire référence à :) suivra les lois de Kepler (En astronomie, les lois de Kepler décrivent les propriétés principales du mouvement des planètes autour du Soleil, sans les expliquer. Elles ont été découvertes par Johannes Kepler à partir des observations et...). Pour mettre un satellite (Satellite peut faire référence à :) en orbite circulaire à la distance \scriptstyle{ r_0 }, il faut une vitesse (On distingue :) initiale \scriptstyle \vec {v_0} perpendiculaire (En géométrie plane, on dit que deux droites sont perpendiculaires quand elles se coupent en formant un angle droit. Le terme de perpendiculaire vient du latin per-pendiculum (fil à plomb) et...) à \scriptstyle{ \vec{OM_0}} et de module \scriptstyle{ v_0 } telle que \scriptstyle{ \frac {v_0^2} {r_0} = g \frac {R^2} {r_0^2}} soit

v_0 = \sqrt { \frac {g R^2}{r_0} }= v_1 \sqrt { \frac R {r_0} },

dans laquelle \scriptstyle { v_1 = \sqrt {gR}} est la première première vitesse cosmique \scriptstyle { v_1 = 7,9 km/s = 28500 km/h} pour la Terre (La Terre est la troisième planète du Système solaire par ordre de distance croissante au Soleil, et la quatrième par taille et par masse croissantes. C'est la plus grande et la plus...),ou vitesse de Schuler, c'est-à-dire la vitesse, toute théorique, à laquelle il faurdait lancer un satellite pour qu'il se mette en orbite au ras du sol.

En fonction de l'altitude (L'altitude est l'élévation verticale d'un lieu ou d'un objet par rapport à un niveau de base. C'est une des composantes géographique et biogéographique qui explique...) \scriptstyle h , définie par \scriptstyle { r_0 = R + h}, la vitesse sur l'orbite circulaire s'exprime par

v_0 = v_1 \sqrt{1+\frac1 {h/R}} = v_1 \left ( 1-\frac h {2R} + \cdots \right )

Par exemple:

  • \scriptstyle{ h \approx 100 km} pour les satellites militaires et d'observation : \scriptstyle{ v_0 \approx 7,9 km/s \approx 29600 km/h}
  • \scriptstyle{ h \approx 800 km} pour Jason, Spot, les satellites héliosynchrones  : \scriptstyle{ v_0 \approx 8,4 km/s \approx 30200 km/h}

La question se pose alors de savoir ce qui se passe si on se trompe un peu sur la vitesse, en module ou en direction. En particulier de savoir s'il a risque que le satellite ne s'écrase dans l'atmosphère (Le mot atmosphère peut avoir plusieurs significations :)?

C'est le problème dit de la fenêtre de tir

Bonne direction, Mauvaise vitesse

Si le satellite est lancé dans la bonne direction mais avec une vitesse trop grande, alors le satellite est largué au périgée. Il est à la distance minimale de la terre et ne tombera plus.

Si le satellite est lancé dans la bonne direction mais avec une vitesse réelle \scriptstyle v plus petite que la vitesse nominale \scriptstyle v_0, le satellite est alors largué à l'apogée (Un apogée (du grec apogeios : loin de la terre ; apo : loin + gê : Terre), dans les domaines de l'astronomie et de l'astronautique, est le point extrême de l'orbite...). Il faut que le périgée, à l'opposé ( En mathématique, l'opposé d’un nombre est le nombre tel que, lorsqu’il est à ajouté à n donne zéro. En botanique, les organes d'une plante sont dits opposés lorsqu'ils sont...) de la trajectoire (La trajectoire est la ligne décrite par n'importe quel point d'un objet en mouvement, et notamment par son centre de gravité.), soit à une distance supérieure au rayon terrestre \scriptstyle R. Autrement dit que le grand axe (En géométrie, le grand axe d'une ellipse est un paramètre utilisé pour décrire la dimension de cette conique. Le demi-grand axe est la moitié du grand axe.) \scriptstyle{2a > R+r_0}.

On rappèle la formule donnant l'énergie mécanique (L'énergie mécanique est une quantité utilisée en mécanique classique pour désigner l'énergie d'un système emmagasinée sous forme d'énergie cinétique et d'énergie potentielle mécanique. C'est une quantité conservée en...) de l'orbite limite \scriptstyle{ E = - m g \frac {R^2} {2a} = \frac 1 2 m v^2 - m g \frac {R^2} {r_0} }.

On doit donc avoir \scriptstyle{ \frac 1 2 m v^2 > m g R^2 \left ( \frac 1 {r_0} - \frac 1 {R+r_0} \right ) = m g \frac {R^3} {r_0 \left( R+r_0 \right)} = m g \frac {R^2} {r_0}\frac R {R+r_0} = m v_0^2 \frac R {2 R + h} = \frac 1 2 m v_0^2 \frac 1 {1 + h / {2R} }}. Autrement dit, on doit avoir

v > v_0 \sqrt{\frac 1 {1 + h/{2R}}} = v_0 \left( 1 - \frac h {4R}   + \cdots \right)

.

Pour \scriptstyle{ h = 800 km }, la vitesse réelle ne doit pas être inférieure à \scriptstyle {\frac {800} {4R} = 3% } de la vitesse nominale. Et pour \scriptstyle{ h = 100 km }, la tolérance tombe à \scriptstyle {0,4%} !

Bonne vitesse, Mauvaise direction

Bon module, donc bonne énergie (Dans le sens commun l'énergie désigne tout ce qui permet d'effectuer un travail, fabriquer de la chaleur, de la lumière, de produire un mouvement.) donc 2a = 2r°. Donc M° est l'extrémité B du petit axe (Le plus petit diamètre d'une ellipse est son petit axe. Il traverse l'ellipse à mi-chemin entre ses foyers et perpendiculairement à la ligne qui lie ceux-ci.), qui se projette au centre C de l'ellipse , sur la droite parallèle à V°, passant par O : donc l'excentricité (Cet article décrit l'excentricité en mathématiques et en psychologie.) e vaut sinα : le périgée sera à OP= a-c = r°(1-sinα)

      soit sinα < h/R , donc α < (~h/R) (=1/8 rd= 7° pour Spot).      

et ~1° pour h = 100km: c'est une petite fenêtre (En architecture et construction, une fenêtre est une baie, une ouverture dans un mur ou un pan incliné de toiture, avec ou sans vitres.) de tir, sans gravité : on sait pointer à mieux que le demi-degré.

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