Groupe alterné - Définition

Établir la nature des classes de conjugaison de A_n est simplifié par le travail équivalent pour le groupe symétrique. Si φ₁ et φ₂, désignent deux permutations ayant même structure, la démonstration pour le groupe symétrique montre l'existence d'une permutation σ tel que σ^-1φ₁σ = φ₂. On suppose ici que φ₁ et φ₂ sont des permutations paires. L'objectif est d'établir quand σ peut être choisi pair et ce qui se passe sinon.

• Une classe de conjugaison est constituée d'éléments ayant la même structure. Si la structure est composée uniquement de cycles de longueurs impaires, sans cycle de même longueur, il existe exactement deux classes de conjugaison. Il n'en existe qu'une sinon :

Commençons par établir le cas où il n'existe qu'une classe de conjugaison par structure :

S'il existe deux entiers distincts invariants par φ₂, σ peut être choisi pair. En effet, soit a et b les deux entiers invariant par φ₂ et τ la transposition permutant a et b. La transposition τ commute avec φ₂, ce qui montre que (σ τ)^-1φ₁(σ τ) = φ₂. Soit σ τ soit σ est pair, ce qui établit la proposition dans ce cas là.

S'il existe un cycle d'ordre pair dans la décomposition de φ₂ en cycles à supports disjoints, σ peut être choisi pair. Ici τ désigne le cycle de φ₂ ayant un ordre pair. Une fois encore τ est une permutation impair qui commute avec φ₂. Le même raisonnement que précédemment montre que soit σ τ soit σ est pair et permet de conclure.

S'il existe deux cycles de même longueur et de longueurs différentes de 1, σ peut être choisi pair. Deux cas se présentent, les cycles sont soit pairs soit impairs. S'ils sont pairs, la démonstration précédente permet de conclure. S'ils sont impaires, soient (a₁a₂...a_k) et (b₁b₂...b_k) ces deux cycles. Ici k désigne un entier impair. On définit τ comme égal au produit des k transpositions (a₁b₁)(a₂b₂)...(a_kb_k). La permutation τ revient à intervertir les a_j avec les b_j, elle commute avec φ₂. Comme k est un entier impair, la permutation τ est impaire. Le raisonnement précédent permet de conclure.

Établissons le cas où la classe de conjugaison de S_n est divisé en deux :

Il existe au plus 2 classes de conjugaison pour une structure de cycle donnée. Soit (b₁b₂...b_k) le premier cycle d'ordre différent de 1 de φ₂. Soit τ la transposition permutant b_k-1 et b_k On remarque que φ₃ le conjugué de φ₂ par τ possède exactement les mêmes cycles que φ₂, sauf celui étudié, qui devient (b₁b₂...b_kb_k-1). Ainsi, une permutation φ₁ de même structure que φ₂ est, soit conjuguée à φ₂, soit à φ₃. Il ne peut donc exister plus de 2 classes de conjugaison.

Le raisonnement pour établir le résultat pour les cycles d'ordre n, si n est impair, est un cas particulier plus simple à comprendre que le cas général. Le lecteur averti peut sauter cette partie de la démonstration.

Si n est impair strictement supérieur à 1, il existe exactement deux classes de conjugaison contenant des cycles d'ordre n. Pour démontrer cette propriété, il suffit de montrer que (12...n-1n) n'est pas conjugué avec (12...nn-1). Les résultats précédents montrent l'existence d'une permutation impaire, à savoir la transposition σ (n-1 n), tel que le conjugué de (12...n-1n) par σ est égal à (12...nn-1). Si les deux permutations (12...n-1n) et (12...nn-1) sont conjuguées dans le groupe alterné, il existe une permutation τ de signature impaire tel que conjugué de (12...n-1n) par σ τ est égal à (12...nn-1), ce qui revient à dire que τ commute avec (12...nn-1). Autrement dit, si le centralisateur d'un cycle d'ordre n contient une permutation impaire, il n'existe qu'une classe de conjugaison, dans le cas contraire il en existe 2. Démontrer cette propriété revient à montrer que le centralisateur ne contient que des permutations paires. Calculons, dans le groupe symétrique d'indice n, le cardinal de la classe d'un cycle d'ordre n. Tout élément de la classe s'écrit (1ψ(2)ψ(3)...ψ(n)) où ψ désigne une permutation de l'ensemble des entiers compris entre 2 et n. Il existe (n - 1)! permutations de cette nature. L'ordre du centralisateur du cycle que multiplie le cardinal de sa classe est égal à l'ordre du groupe symétrique , ce résultat est connu sous le nom de formule de Burnside (cf Action par conjugaison). On en déduit que l'ordre du centralisateur est égal à n. Les n premières puissances du cycle sont des éléments distincts du centralisateur, le centralisateur est le groupe cyclique composé des puissances du cycle car il contient exactement n éléments. Ce groupe cyclique est composé de produits de permutations paires et ne contient que des permutations paires. Il ne peut donc exister de permutation τ de signature impaire dans le centralisateur du cycle, ce qui établit la propriété.

Le raisonnement du cas général est de même nature que le cas précédent :

Si la structure n'est pas celle de l'un des cas où il est établi qu'il existe une unique classe de conjugaison, alors il en existe deux. En effet, soit φ une permutation de A_n qui ne correspond pas à l'un des cas où il est établi que qu'il existe une unique classe de conjugaison. Démontrer cette propriété revient à montrer que le centralisateur G_φ de φ, dans S_n ne contient que des permutations paires. Soient γ₁, γ₂, ..., γ_p les cycles à supports disjoints dont le produit est égal à φ et n₁, n₂, ..., n_p l'ordre des différents cycles. On suppose de plus que la suite des n_j est strictement décroissante. Comme on compte aussi les cycles d'ordre 1, la somme des n_j, où j varie de 1 à p, est égale à n. Le sous groupe de S_n engendré par les différents cycles γ_j est inclus dans G_φ. L'objectif est de montrer que ce groupe est exactement égal à G_φ. C'est un groupe abélien d'ordre le produit des n_j pour j variant de 1 à p. Il suffit de montrer que le cardinal C_φ de la classe de conjugaison de φ est égal à n! que divise le produit des n_j. Le fait que l'ordre de G_φ que multiplie C_φ soit égal à l'ordre de S_n, c'est-à-dire n! permet de conclure. Calculons dans un premier temps N_p, le nombre de manières possibles de partitionner un ensemble de n éléments en p sous-ensembles tel que le j^ième contienne n_j élément. On raisonne par récurrence. On peut supposer p supérieur ou égal à 2 car le cas où p est égal à 1 est traité dans le paragraphe précédent. On veut montrer que :

Si p est égal à 2, comme n₁ ne peut être égal à n₂, la formule est vérifiée et correspond à celle du coefficient binomial. Dans le cas général, on trouve que N_p est égal à N_p-1 que multiplie le nombre de manières de partitionner un ensemble de n éléments en deux parties dont l'une contient n_p éléments. Comme la somme des n - n_p est différente de n_p, l'hypothèse de récurrence montre que :

Il a été établi qu'il existe exactement (n_j - 1)! cycles d'ordre n_j, ce qui montre que :

Le fait que l'ordre de G_φ que multiplie C_φ soit égal à n! montre que l'ordre de G_φ est bien égal au produit des n_j, ce qui est exactement l'ordre du groupe engendré par les cycles γ_i. Le deuxième groupe est inclus dans le premier et leurs ordres sont égaux. On en conclut qu'ils sont égaux. Chaque cycle est de signature paire car l'ordre des cycles est impair. Le produit de permutations de signatures paires est de signature paire, G_φ ne contient que des permutations de signature paire. Un raisonnement analogue à celui du cas du cycle d'ordre n permet de conclure.

La démonstration du fait que les cycles d'ordre 3 engendrent le groupe alterné est comparable à un jeu de taquin.

• Les cycles d'ordre 3 engendrent le groupe alterné.

Soit φ une permutation du groupe alterné A_n. On construit une suite σ_k pour k variant de 1 à n - 2 tel que φσ₁σ₂...σ_n-2 soit égal à l'identité. On remarque alors que σ_n-2^-1...σ₂^-1σ₁^-1 est un produit de cycles d'ordre 3 égal à φ. On raisonne par récurrence, si φ(1) est égal à 1 alors σ₁ est l'identité, sinon, σ₁ est le cycle (1φ^-1(1)x₁), où x₁ est un entier compris entre 2 et n et différent de φ^-1(1). On a φσ₁(1) = φφ^-1(1) = 1.

On suppose, par hypothèse de récurrence, que φσ₁σ₂...σ_j-1 laisse invariant les entiers compris entre 1 et j - 1 et on construit un cycle σ_j tel que φσ₁σ₂...σ_j laisse invariant les entiers compris entre 1 et j. Ici, j désigne un entier inférieur à n - 2. Si φ(j) est égal à j, σ_j est l'identité sinon σ_j = (j (φσ₁σ₂...σ_j-1)^-1(j) x_j), ici x_j désigne un entier différent de (φσ₁σ₂...σ_j-1)^-1(j) et strictement supérieur à j, qui existe nécessairement. Comme, par hypothèse de récurrence, la restriction de φσ₁σ₂...σ_j-1 aux entiers compris entre 1 et j - 1 est l'identité, φσ₁σ₂...σ_j-1(j) est plus grand que j - 1 et σ_j laisse aussi invariant les j - 1 premiers entiers. Un calcul analogue à celui de σ₁(1) montre que la restriction aux entiers compris entre 1 et j de φσ₁σ₂...σ_j est l'identité.

La permutation φσ₁σ₂...σ_n-2 est un produit de permutations paires, elle est donc paire. La construction des σ_k montre que φσ₁σ₂...σ_n-2, est soit la transposition (n n-1), soit l'identité. Comme une transposition est impaire, la permutation est bien l'identité, ce qui termine la démonstration.