Groupe alterné - Définition

• Le polyèdre contient 4 sommets :

La formule de Burnside (cf Action de groupe (mathématiques)) indique que le cardinal de S est égal à l'ordre de G que divise l'ordre du stabilisateur de s. Le stabilisateur de s est le sous-groupe de G composé des éléments laissant invariant s. Le stabilisateur contient au moins trois éléments : l'identité, φ₂₃₄ et le carré de φ₂₃₄. Il n'en contient pas d'autre. En effet, si g est un élément de G, différent d'une puissance de φ₂₃₄ et admettant s comme point fixe alors le sous-groupe laissant s fixe est cyclique d'ordre strictement supérieur à 3. Un tel sous-groupe n'existe pas dans G. On en déduit que S est un ensemble à 4 éléments, c'est-à-dire : 12 l'ordre de G, que divise 3 l'ordre du stabilisateur de s.

• Le polyèdre est globalement invariant par l'action de G :

Le tétraèdre T, dont les sommets forment l'ensemble S, est globalement invariant par G. En effet, les sommets le sont, les arêtes le sont aussi car si s₁ et s₂ sont deux segments, l'image du segment [s₁, s₂] par un élément de G est un segment d'extrémités deux éléments de S. Le même raisonnement s'applique encore pour les faces et l'intérieur du polyèdre.

• Le polyèdre est régulier :

Le tétraèdre T est régulier. Pour s'en rendre compte, considérons un point quelconque t de S. Son orbite contient 4 éléments, donc son stabilisateur est d'ordre 3 et il existe une rotation φ de G, laissant invariant t. Il existe un vecteur s₁ de S qui n'est pas dans l'axe dirigé par t. En effet, si tous les points de S étaient élément d'une droite vectoriel, cette droite seraient stable par G, la représentation ne serait pas irréductible car contiendrait un espace propre de dimension 1. Les trois points s₁, φ(s₁) et φ²(s₁) forment avec t, l'ensemble S car il contient 4 éléments. Comme φ est une rotation d'axe dirigé par t, les trois points de S différents de t forment un triangle équilatéral. On en déduit que toutes les faces de T sont des triangles équilatéraux, ce qui montre que le tétraèdre T est régulier (ce qui signifie que les arêtes sont toutes de même longueur et que les angles de deux arêtes distinctes partageant un même sommet sont aussi tous égaux).

• Le groupe des rotations du polyèdre est exactement G :

Le groupe des rotations de T contient G, montrons maintenant qu'il est égal à G. Il existe 4 manière d'envoyer un sommet de S sur un autre sommet, car S contient 4 sommets. Il existe ensuite 3 manières de positionner une arête contenant le sommet s, sans bouger s. Le groupe des rotations de T ne peut donc contenir plus de 12 éléments. Comme G contient exactement 12 éléments, le groupe des rotations de T et G sont confondus.

L'objectif est de construire un solide de Platon ayant pour groupe de rotations G formé par les rotations d'une représentation irréductible de degré 3 de A₅. Dans un premier temps, il est nécessaire de construire le polyèdre :

• Il existe un polyèdre convexe P à 12 sommets laissé globalement invariant par G :

On procède comme pour le tétraèdre. Soit φ une rotation d'ordre 5 et s un vecteur propre de φ. On note S l'orbite de s par G, le même raisonnement que pour le tétraèdre montre que le stabilisateur de s est un groupe cyclique d'ordre 5 et que l'orbite est de cardinal 12. Il ne reste plus qu'à montrer que l'orbite de S n'est pas dans un plan. S'il l'était ce plan serait stable ou contiendrait une droite vectoriel stable par tout élément de G. Un tel sous-espace n'existe pas car les éléments de G proviennent d'une représentation irréductible. L'enveloppe convexe de S est un polyèdre P convexe globalement stable par G.

Il faut maintenant montrer que ce polyèdre est l'un des 5 solides de Platon. Pour cela, il suffit de montrer qu'il est régulier.

• Structure des arêtes autour d'un sommet :

Soient t et s₁ deux points distincts de S à une distance minimale d . L'orbite de t contient 12 points, son stabilisateur est, en conséquence, d'ordre 5 et il existe une rotation φ d'ordre 5 ayant pour axe celui dirigé par t. Les images de s₁ par les puissances de φ forment un pentagone régulier situé sur un cercle C₁ de centre l'intersection du plan contenant le pentagone et de l'axe de la rotation. Ce cercle ne contient pas d'autres points de S. Supposons en effet qu'il contienne un autre point u, il en contient au minimum 5 supplémentaires, formés par l'image de u par les puissances de φ. Il existerait alors au moins 10 points de S sur le cercle C₁. Considérons le cercle C₂ construit de la même manière , mais cette fois-ci à partir de s₁ au lieu de t. Ce cercle contient au moins 5 points de S dont t et uniquement 2 peuvent être aussi des points de l'intersection de C₁ et de S. Le cercle C₂ contient au moins 2 points de S qui ne sont ni égaux à t ni dans C₁. L'ensemble S contiendrait alors au moins 13 points : 10 dans C₁, t et deux nouveaux dans C₂. C'est absurde car S ne contient que 12 points.

Il faut encore démontrer que s₁ n'est pas dans la direction de t. Comme tous les points de S ont même norme, le seul point possible de S colinéaire est l'opposé -t. Or le point -t n'est pas un candidat pour être le point le plus proche de t. La sphère de rayon la norme de t et de centre le vecteur nul contient au moins 10 points de S, différents de t qui sont dans cette sphère et plus proches de t.

Le segment [t, s₁] est une arête, en effet, si s₂ est l'image de s₁ par φ et s₅ son antécédent, les plans contenant t, s₁, s₂ pour le premier et t, s₁, s₅ pour le second, ne sont pas coplanaires.

Tout point de S contient au moins 5 arêtes de longueur d dans le polyèdre. En effet, si v est un sommet quelconque de S, il existe une rotation de G qui envoie t sur v, car S est défini comme l'orbite de t. Cette rotation envoie s₁ sur un point de S à une distance de d de v, le groupe des rotations de G laissant v invariant montre l'existence de 5 images par les éléments du groupe à situés à une distance d de v. Le caractère isométrique de la rotation montre que ce sont les seuls points de S à une distance inférieure ou égale à d de v.

Ce raisonnement montre l'existence de 30 arêtes dans le polyèdre, chaque point contient en effet 5 arêtes de longueur d, il existe 12 points dans S et chaque arrête contient 2 sommets, ce qui donne 12x5/2, soit 30 arêtes. Cependant rien ne garantit encore que ce sont les seules arêtes de P, on ne sait pas si [s₁, s₂] est de longueur d et si c'est une arête de P. Pour élucider cette question, étudions les faces du polyèdre.

• Structure des faces du polyèdre :

Considérons les triangles de type t, s₁, s₂, c'est-à-dire formé par un point de S, un deuxième à distance d du premier et pour troisième l'image par une rotation d'axe t et d'angle un cinquième de tour. Comme la rotation est élément de G, s₂ est bien un sommet de P. L'objectif est de montrer que ces triangles sont équilatéraux et forment les faces du polyèdre. Montrons qu'ils recouvrent le polyèdre, ou encore que tout point p de P est à une distance inférieure à d d'un sommet. Soit t le point le plus proche de p, s₁, ..., s₅ les 5 points de S à une distance d de t et C le cercle contenant ces 5 points. Les points à l'extérieur de la calotte sphérique de la sphère contenant S, délimité par le cercle C et contenant t, sont tous plus proches d'un des cinq points s₁, ..., s₅ que de t. On en déduit que p est dans la calotte, ce qui montre qu'il est dans un des triangles considérés.

Soit ψ une rotation d'un tiers de tour de G. Son axe croise le polyèdre et donc un des triangles précédents, noté ici T. L'intersection c de l'axe et du triangle n'est pas un sommet du polyèdre car les sommets ont un stabilisateur d'ordre 5, qui ne contient aucun élément d'ordre 3. Soit s₁ le point de S le plus proche de c. Les images de s₁ par les rotations ψ et ψ² sont deux points de S tout aussi proche de c que l'est s₁. On en déduit que ces trois points sont les sommets de T, ce montre que T est équilatéral. Tout triangle de la famille précédente est isomorphe à T. En effet, soit T₁ un des triangles, une isométrie transporte un des sommets de T₁ sur l'un des sommets t de T, puis l'une des 5 rotations d'axe dirigé par t fait coïncider le triangle image avec T.

La structure du polyèdre est maintenant totalement élucidée. Si t est un sommet de S et s₁, ..., s₅ les 5 points de S à une distance d de t, [s₁, s₂] est bien une arête du polyèdre car sa longueur est égale à d. Les points s₂, t s₅ sont sur la même orbite pour le stabilisateur de s₁ et l'on a démontré que les segments d'extrémités s₁ et l'un des points de l'orbite, est une arête. On remarque qu'un sommet est partagé par 5 faces et que chaque face est partagé par 3 sommets, ce qui montre l'existence de 12x5/3 = 20 faces. Le polyèdre construit est bien un solide de Platon car il est régulier, on reconnaît d'ailleurs l'icosaèdre.

• Construction du dodécaèdre :

Le dodécaèdre est le polyèdre dual de l'icosaèdre. Il est régulier et possède le même groupe de rotation G, comme tous les polyèdres duaux d'un polyèdre régulier. Ces sommets sont les centres des faces de l'icosaèdre, comme l'icosaèdre contient 20 faces, il possède 20 sommets. Le centre de chacune des faces se situe sur l'axe contenant le vecteur nul et un sommet de l'icosaèdre. Cet axe est celui d'une rotation d'ordre 5 de G, ce qui montre que chaque face est un pentagone dont le plan est orthogonal à l'axe de la rotation. De plus il existe autant de faces que l'icosaèdre contient de sommets, c'est-à-dire 12. Le dodécaèdre contient 20 sommets chacun centre d'une rotation d'ordre 3, chaque sommet contient donc 3 arêtes. Il existe 12 sommets, donc 20x3/2 = 30 arêtes.