On montre que : le premier groupe d'homologie (d'un espace connexe par arcs) est isomorphe à l'abélianisé du groupe fondamental (en un point quelconque de l'espace).
Il y a équivalence entre les sous-groupes à conjugaison près du groupe fondamental et les revêtements à isomorphisme près. Dans cette équivalence, les sous-groupes normaux correspondent aux revêtements galoisiens.
En théorie des revêtements, on montre que si l'espace admet un revêtement simplement connexe (en particulier si l'espace est semi-localement simplement connexe c'est-à-dire si l'espace n'est pas trop "sauvage", par exemple s'il est localement contractile) son groupe fondamental est isomorphe au groupe des automorphismes d'un de ses revêtements universels.
Fonction continue et morphisme
Une question naturelle est celle de la compatibilité du groupe fondamental vis à vis d'une application continue f. Soit X et Y deux espaces topologiques tel que X soit connexe par arc et f une application continue de X dans Y. La fonction f assure non seulement la connexité de Y, mais aussi sa connexité par arcs de f(X).
De plus la fonction f transforme un lacet de X en un lacet de Y. Soit α un lacet de X, l'application foα est bien un lacet de Y. Ce lacet est généralement noté f* (α).
Morphisme de groupes fondamentaux induit par une fonction continue
La fonction f induit une application f* des lacets de X dans les lacets de Y. Cette application est compatible avec la relation d'équivalence que définit l'homotopie ainsi qu'avec la loi de composition du groupe fondamental.
Si α1 et α2 sont deux lacets ayant mêmes extrémités p, la loi de concaténation s'applique. Si les deux lacets sont homotopes, et si H(t, x) est une homotopie, alors l'application foH(t, x) est une homotopie entre f* (α1) et f* (α2)., ce qui montre que l'application f* est définie sur le groupe π1(X,p) à valeurs dans le groupe π1(Y,f(p)).
Il existe un unique morphisme de groupe de π1(X,p) dans π1(Y,f(p)), qui associe à la classe, notée [α], d'un lacet de X, la classe du lacet foα. Ce morphisme est appelé morphisme induit par l'applicationf, il est défini par :
Pour montrer cette proposition, il suffit de remarquer que :
Si Z est un autre espace topologique et g une fonction continue de Y dans Z, alors les morphismes se composent :
Il suffit de remarquer que l'application (IdX)* est l'identité du groupe π1(X,p) pour conclure que :
Si f est un homéomorphisme, le morphisme de groupe f* est un isomorphisme. Si deux espaces X et Y sont connexes par arcs et s'il existe un homéomorphisme de X dans Y, alors les groupes fondamentaux de X et Y sont isomorphes.
Un exemple d'application des morphismes précédents est le théorème du point fixe de Brouwer. En dimension deux, il se démontre simplement à l'aide de l'étude d'une fonction continue permettant de bâtir un morphisme de groupes fondamentaux. Une définition est utile :
Soit X un espace topologique connexe par arcs et A une partie de X. Une rétractionF de X sur A est une application de X dans A telle que la restriction de F à A soit l'identité. On dit que A est un rétracte de X s'il existe une rétraction continue de X sur A.
Cette définition permet d'exprimer la proposition suivante, équivalente au théorème du point fixe de Brouwer en dimension 2 :
Il n'existe pas de rétraction continue d'un disque dans sa frontière.
Soit B2 le disque et S1 sa frontière. Supposons qu'une telle rétraction, notée F, de B2 dans S1 existe. On note InjS, l'injection canonique de S1 dans B2 et IdS l'application identité de S1. On dispose des égalités :
L'application (IdS) * est le morphisme identité du groupe fondamental du cercle. L'application (InjS) * est le morphisme du groupe fondamental du cercle dans le groupe fondamental du disque, qui est trivial. L'image de cette application est donc réduite à l'élément neutre. L'image par le morphisme F* du groupe fondamental du disque dans le groupe fondamental du cercle est réduite à l'élément neutre. Ce résultat est en contradiction avec le fait que l'image de (IdS) * , qui est le groupe fondamental du cercle, est non triviale car isomorphe à Z.
Le théorème de Brouwer indique que toute fonction continue f du disque dans lui-même admet un point fixe. S'il n'en avait pas, il serait aisé de construire une rétraction continue. On considérerait le segment passant par x et f(x) illustré sur la figure (si x est un élément du disque). Ce segment traverse le disque en un point, plus proche de x que de f(x). Si ce point est l'image par F du point x, alors F est la rétraction recherchée. Une description plus précise est disponible dans l'article détaillé :
Deux espaces X et Y sont dits homotopiquement équivalents s'il existe deux applications f : X → Y et g : Y → X, telles que
est homotope à IdX et
est homotope à IdY.
Si X et Y sont connexes par arcs et homotopiquement équivalents, ils ont des groupes fondamentaux isomorphes.
Par conséquent, un espace homotopiquement équivalent à un point est simplement connexe. Un tel espace est dit contractile.
![\forall \gamma \in \pi_1(X,p),\;\forall t \in [0,1] \quad f_*(\gamma)(t) = f\circ\gamma (t)](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/e/edf21cce99f87f27037acdf3b4c126b2_44cf9ce98399ae00a42bc77699f09b84.png)
