Histoire de la logique - Définition
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Logique contemporaine
La logique booléenne est largement mise à contribution par une nouvelle discipline, l'informatique (matériel comme logiciel) fait déboucher sur l'important problème dit P=NP (voir théorie de la complexité). Dynamisée par le renouveau de la théorie des types, la correspondance de Curry-Howard établit les liens forts qui existent entre démonstration et calcul; cela débouchera sur des langages comme Haskell ou, à l'INRIA, COQ.
Indépendamment de la logique classique s'en développent d'autres, construites pour répondre à des modélisations spécifiques :
- logique déontique
- logique intuitionniste prend une place importante comme première logique constructive
- lambda calcul permettant de modéliser une théorie du calcul, de l'informatique et des langages de programmation, tandis que de nouvelles logiques sous-structurelles apparaissent comme la logique linéaire permettant de mieux appréhender le raisonnement logique et pourquoi pas proposer une grande unification de la logique.
- logique bayésienne pour la très grande majorité des problèmes faisant intervenir l'incertain - ou en tout cas l'inconnu - et/ou l'apprentissage, parfois remplacée pour accélérer les calculs par une approximation suffisante nommée logique floue.
Un système axiomatique, l'analyse non standard, remet au goût du jour et de façon rigoureuse les vieilles méthodes de calcul différentiel, mais n'a pas encore, semble-t-il, conduit à de théorème majeur.
Logique moderne
Frege jette les bases de la logique moderne et définit un langage entièrement formalisé: l'idéographie.
Avec les travaux d'Hilbert, le XIXe siècle réconcilie la logique et les mathématiques avancées. Hilbert met fin à ce qu'il qualifie de maladie infectieuse. La notion d'axiome prend un nouveau tournant : la définition axiomatique d'un concept et la base axiomatique d'une mathématique sont deux notions relativement différentes.
La réconciliation est de courte durée. Cantor sème la pagaille en modifiant inconsciemment la base axiomatique. Dans le même temps, il met le doigt sur des propositions indécidables. Il s'avère que celles-ci ne peuvent être résolues qu'avec une compréhension de la logique plus profonde.
La logique ne devient plus logique. La logique qui reflétait essentiellement une évidence intuitive, s'ouvre à des paradoxes comme celui du menteur ou de l'ensemble de tous les ensembles. Husserl montre que la logique ne peut pas être cette base intuitive que tout le monde accepte.
Les fondements des mathématiques sont chahutées. Gödel y contribue par son théorème d'incomplétude et Brouwer en introduisant l'intuitionnisme. La logique gagne en relativité, les propositions ne sont plus vraies ou fausses mais aussi ni vraies, ni fausses. On peut ajouter autant d'axiomes que l'on veut et monter des systèmes mathématiques différents avec des axiomes inconciliables. La base axiomatique définie par Euclide et complétée par Hilbert semble céder de partout. Il est alors admis que la logique n'est plus une transcendance fondée sur une base d'axiomes intangibles obligatoires et éternels.
