Idéographie
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L'idéographie (Begriffsschrift) est un langage entièrement formalisé inventé par le logicien Gottlob Frege et qui a pour but représenter de manière parfaite la logique mathématique.

Introduction

Le projet d'un langage entièrement formalisé n'est pas nouveau: Leibniz avait déjà lui-même développé un tel projet (Un projet est un engagement irréversible de résultat incertain, non reproductible a priori à l’identique, nécessitant le concours et l’intégration d’une grande...) sous le nom de caractéristique universelle (La caractéristique universelle ou, en latin, caracteristica universalis est une langue universelle et formelle imaginée par le philosophe allemand Leibniz capable d'exprimer...) mais sans réussir à aboutir.

Naissance de l'idéographie (L'idéographie (Begriffsschrift) est un langage entièrement formalisé inventé par le logicien Gottlob Frege et qui a pour but représenter de manière parfaite la logique mathématique.)

La première publication portant sur l'idéographie est le texte éponyme Idéographie (Begriffschrift) publié en 1879. Frege continua à travailler à l'idéographie dans Les Fondements de l'arithmétique (Die Grundlagen der Arithmetik, 1884).

Dépassement (Un dépassement est le fait de rouler pendant un instant, en général relativement court, à côté d’un autre véhicule à une...) de la logique (La logique (du grec logikê, dérivé de logos (λόγος), terme inventé par Xénocrate signifiant à la fois raison, langage, et raisonnement) est dans une...) de Frege

La présentation axiomatisée de logique chez Frege qui repose sur l'idéographie utilisée entre autres dans les Lois fondamentales de l’arithmétique (Grundgesetze der Arithmetik) a été mise à mal par le paradoxe (Un paradoxe est une proposition qui contient ou semble contenir une contradiction logique, ou un raisonnement qui, bien que sans faille apparente, aboutit à une absurdité, ou encore, une...) de Russell. Elle contient en plus de la version de 1879 la loi V qui aboutit à une contradiction (Une contradiction existe lorsque deux affirmations, idées, ou actions s'excluent mutuellement.) comme ∃x (F(x)∧¬F(x)). L'idéographie de 1879 et les théorèmes des Grundgesetze der Arithmetik utilisant cette loi V sont tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) de même valides.
Cette loi V exprime que deux extensions de concepts sont identiques quand ils ont les mêmes cas de vérités, soit comme l’écrit Frege dans les Lois fondamentales ?F(ε) = ?G(α) = ∀x(F(x) = G(x)), ce qui établit une équipotence (En théorie des ensembles, deux ensembles E et F sont dits équipotents, ce qu'on note E ≈ F, s'il existe une bijection de E sur F. On dira alors que deux ensembles équipotents ont la même cardinalité, c'est-à-dire la même...) (même cardinal) entre l’ensemble des extensions de concepts et celui des concepts, ce qui est contredit par le fait qu’un ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un...) a un cardinal strictement inférieur à celui de l’ensemble de ses sous-ensembles. De plus, un corollaire (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir d'axiomes. Un théorème est à...) de cette loi V est que tout concept admet une extension, y compris les plus farfelus comme celui-ci " être une extension du concept sous lequel on ne tombe pas " qui, exprimé dans l’idéographie des Lois fondamentales ainsi x=εF ∧ ¬F(x), aboutit au paradoxe du barbier.

Repésentation graphique de l'idéographie

Ce langage utilise le plan comme espace de travail et ne se limite pas à la ligne (comme la logique d'aujourd'hui, basée sur les Principia Mathematica de Bertrand Russell et Alfred North Whitehead qui en est tributaire). Ce langage est aujourd'hui inutilisé même s'il en subsiste des traces (TRACES (TRAde Control and Expert System) est un réseau vétérinaire sanitaire de certification et de notification basé sur internet...) par exemple dans le symbole de négation " ¬ ", de conséquence " ? " ou de tautologie " ? ".

Idéographie   Signification Explication

 - A

A est une proposition, on l’affirme logiquement A signifie quelque chose qui a un sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution progressive...) et qu'on peut juger soit vrai soit faux, le trait horizontal (Horizontal est une orientation parallèle à l'horizon, et perpendiculaire à la verticale. Une ligne horizontale va « de la gauche vers la droite » ou vice versa.) est appelé trait de contenu

 ? A

A est aussi une proposition, on exprime sa négation logique A est une proposition niée mais attention, on n’a pas pour autant écrit que A était fausse

+- A

A est une tautologie A est une proposition —donc A signifie quelque chose— et de plus A est vraie, le trait vertical (Le vertical (rare), ou style vertical, est un style d’écriture musicale consistant en accords plaqués.) est appelé trait de jugement

+? A

A est une contradiction A est une proposition et de plus A est fausse
 
 -?--- B 
 | 
 +--- A 
 

ou
 -?? A
  +? B

A implique B L'implication est décrite par Frege comme B ou non A, il s'agit de l'implication logique classique, voir ci-après

 -?- B
  +? A

non A implique B, soit A ou B Vu la ligne supérieure, on a B ou non non A, soit B ou A

 -?? B
  +? A

(non A) implique (non B)

 -?? B
  +- A

A implique non B, soit non (A et B) Il est faux que A et non non B

 ??- B
  +? A

non (non A implique B) non (A ou B)

 ??? B
  +- A

non (A implique non B) A et B

 -???- A
  | +? B
  +-?? A
    +- B

A est équivalent à B
- A ≡ B A et B ont le même contenu Il faut différencier l’équivalence logique de l’identité de contenu

L’implication est exprimée par Frege ainsi, quand on a deux propositions A et B, on a 4 cas :

  1. A est affirmé et B est affirmé
  2. A est affirmé et B est nié
  3. A est nié et B est affirmé
  4. A est nié et B est nié

L’implication B implique A (B⊃A) nie le troisième cas, en d’autres termes il est faux qu’on a à la fois B vrai et A faux.

L'idéographie est construite sur l’implication, ce qui facilite l’usage de la règle du détachement, c'est-à-dire que si A est vraie et si A implique B est vraie, alors B est aussi vraie (A ∧ (A⊃B)) ⊃ B.
Elle contient le quantificateur universel ∀, codé par un petit creux surmonté d'une lettre gothique qui remplace le trait - (pas disponible en unicode). Le carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses quatre côtés ont la même longueur et ses quatre angles la même mesure. Un...) logique est aussi présent.
Elle contient aussi la définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.), codée dans l'idéographie par le caractère unicode (Unicode est une norme informatique, développée par le Consortium Unicode, qui vise à donner à tout caractère de n’importe quel système d’écriture un nom et un identifiant numérique, et...) suivant : ?.

Bibliographie

  • Idéographie, Gottlob Frege, Vrin, 1999
  • Les fondements de l’arithmétique, Gottlob Frege, L’ordre philosophique, Seuil, 1969
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