Maîtrise statistique des procédés - Définition

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- Introduction - Analyse graphique des données - Normalité d'une distribution - Notions de statistiques appliquées au contrôle qualité - Bibliographie

Normalité d'une distribution

Généralités

Les tests qui suivent permettent de s'assurer de la normalité des résultats obtenus.

Droite de Henry

Sur un simple examen de l'histogramme, il n'est pas évident de se prononcer sur la 'normalité' des variables. Il est pratique de comparer le graphique obtenu avec les données théoriques correspondantes basées sur une loi théorique standardisée et de représenter ces données sur une droite à l'aide d'un changement d'échelle. La droite de Henry permet de réaliser cette transformation. On constate que la distribution de l'exemple 1 est quasi-normale.

La droite de Henry coupe l'axe des x au point d'abscisse m et sa pente est égale à 1/ $σ$ , ce qui permet une estimation de l'écart-type de la distribution.

Moyenne de moyennes de données

Si l'on suppose que la population dont on a extrait l'échantillon est normale et a pour paramètres théoriques X = 133 mm (moyenne) et $σ$ = 5 mm, alors on peut tracer l'histogramme de loi normale centrée réduite correspondante sur une simulation de 1000 pièces tirées au hasard. La moyenne théorique est de 133 mm, l'écart type de 5 mm et l'étendue de 34 mm. Puisque notre échantillon de 32 données suit approximativement une loi normale, on peut se poser la question de savoir si la moyenne théorique de la population serait plus précise si on multipliait le nombre des séries d'observations. Simulons par exemple 9 prélévements successifs de 1000 pièces de moyenne théorique 133 mm et d'écart type 5 mm. La moyenne théorique obtenue est de 120mm, l'écart type de 4,8 mm et l'étendue de 32 mm. La distribution de la 'moyenne des moyennes' semble normale. L'histogramme est centré sur la moyenne théorique (120), mais la distribution de la moyenne est plus ressérée que dans l'histogramme ci-dessus. La moyenne de l'échantillon donne donc une moyenne plus précise de la moyenne théorique qu'une seule série d'observations X. Soit $M m$ , la moyenne des moyennes.

On démontre que pour n séries d'observations :

Moyenne $M m$ = moyenne (X )d'une série d'observations.
Écart type de $M m$ = $\sigma_X / \sqrt{n}$ .
Variance de $M m$ = variance (X) / n.

Théorème de la limite centrale

En contrôle qualité, la plupart des distributions de données d'échantillons suivent une loi normale. Si toutefois les données ne semblent pas « normales », le théorème de la limite centrale permet d'affirmer que la moyenne d'une variable indépendante distribuée de façon quelconque devient une variable normale quand le nombre d'observations est assez grand.

La moyenne arithmétique $\overline {x_n}$ de n valeurs suivant une même loi de probabilité tend vers son espérance mathématique E(X). Plus n est grand, plus la loi se rapproche d'une distribution normale. Son écart type est : $\tfrac {\sigma_x} {\sqrt {n}}$

Donc, si n est > 5, par exemple, la distribution des moyennes $\overline {x_n}$ des différents échantillons successifs tirés de cette même population tendra vers une loi normale de même moyenne m et d'écart-type $\tfrac {\sigma_x} {\sqrt {n}}$ , même si la variable aléatoire x ne suit pas une loi normale. Cette propriété est utilisée dans les cartes de contrôle aux mesures.

Test du khi-deux

Cartes de contrôle

La carte de contrôle est le principal outil de la MSP. On se propose de tracer les cartes de contrôle à la moyenne et à l'étendue de l'exemple.

N°	X1	X2	X3	X4	X5	X	R
1	130	136	135	137	138	135,2	5,2
2	134	133	135	135	137	134,8	5,2
3	137	136	135	135	133	135,2	5,2
4	135	135	138	137	137	136,4	5,2
5	135	134	135	138	137	136,4	5,2
6	135	134	135	135	138	135,4	5
7	138	135	138	135	138	136,4	4,9
8	134	140	135	132	135	135,2	4,9
9	135	133	133	135	135	134,2	4,9
10	134	134	135	138	137	135,6	5,1
11	132	139	135	138	135	135,8	5
12	134	140	135	135	137	136,2	5,1
13	131	139	130	135	135	134	5
14	134	135	139	138	135	136,2	4,9
15	136	135	139	131	135	135,2	4,9
16	133	133	135	132	131	132,8	5,1
17	135	131	131	135	135	133,4	4,9
18	135	135	138	131	131	134	5,3
19	131	139	133	135	132	134	4,9
20	131	138	136	135	138	135,6	5,1

Pièce : clé métallique.

Caractéristique : Longueur.

Unité de mesure : mm.

Fréquence de contrôle : toutes les 2 heures.

En appliquant les coefficients de calcul des limites pour 5 prélèvements par échantillon, on calcule pour chaque ligne, la moyenne X et l'étendue R par échantillon, puis la moyenne des moyennes et l'étendue moyenne sur l'ensemble des échantillons. (20 lignes)

Maîtrise statistique des procédés - Définition

Normalité d'une distribution

Généralités

Droite de Henry

Moyenne de moyennes de données

Théorème de la limite centrale

Test du khi-deux

Cartes de contrôle

Utilisation des différentes cartes

Optimisation de la qualité

Analyse de la variance

Ajustements

Analyse des causes de non conformité