Histogramme - Définition et Explications

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Introduction

Exemple d'histogramme.

En statistiques, un histogramme est un graphe permettant de représenter la répartition d'une variable.

Un outil de gestion de la qualité

L’histogramme est un moyen rapide pour représenter la distribution d’un paramètre (Un paramètre est au sens large un élément d'information à prendre en compte...) obtenu lors d’une fabrication.

Exemples :

  • diamètre (Dans un cercle ou une sphère, le diamètre est un segment de droite passant par le centre...) d’un arbre (Un arbre est une plante terrestre capable de se développer par elle-même en hauteur, en...) après usinage,
  • dureté (Il existe différentes définitions de la dureté : pour un solide (minéral ou métal) et...) d’une série de pièces après un traitement thermique (Le traitement thermique d'une pièce consiste à lui faire subir des transformations de structure...),
  • concentration d’un élément dans la composition d’alliages produit par une fonderie (La fonderie est l'un des procédés de formage des métaux qui consiste à couler...),
  • masse (Le terme masse est utilisé pour désigner deux grandeurs attachées à un...) de préparation alimentaire dans une boîte de conserve,
  • répartition de la luminosité (La luminosité désigne la caractéristique de ce qui émet ou réfléchit...) des pixels dans une photographie.

L’histogramme est un outil (Un outil est un objet finalisé utilisé par un être vivant dans le but d'augmenter son...) « visuel » qui permet de détecter certaines anomalies ou de faire un diagnostic (Le diagnostic (du grec δι?γνωση, diágnosi, à partir de...) avant d’engager une démarche d’amélioration. Utilisé dans ce cadre, l’histogramme est un outil « qualitatif ». Pour pouvoir bien mener l’étude de la dispersion (La dispersion, en mécanique ondulatoire, est le phénomène affectant une onde dans un...) d’un paramètre à l’aide d’un ou de plusieurs histogrammes, il faut avoir une bonne connaissance du paramètre étudié. De même, il faut connaître les conditions de collecte des données : fréquence (En physique, la fréquence désigne en général la mesure du nombre de fois qu'un...) de mesure, outil de mesure utilisé, possibilité de mélange (Un mélange est une association de deux ou plusieurs substances solides, liquides ou gazeuses...) de lots, possibilité de tri etc.

Construction

Collecte des données

La première phase (Le mot phase peut avoir plusieurs significations, il employé dans plusieurs domaines et...) est la collecte des données en cours de fabrication. Cette collecte peut être réalisée soit de façon exceptionnelle à l’occasion de l’étude du paramètre soit en utilisant un relevé automatique (L'automatique fait partie des sciences de l'ingénieur. Cette discipline traite de la...) ou manuel fait lors d’un contrôle (Le mot contrôle peut avoir plusieurs sens. Il peut être employé comme synonyme d'examen, de...) réalisé dans le cadre de la surveillance du procédé de fabrication.

Sans qu’il soit réellement possible de donner un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre...) minimum, il faut que le nombre de valeurs relevées soit suffisant. Plus on dispose d’un nombre élevé de valeurs, plus l’interprétation sera aisée.

Nombre de classes

La première opération est de déterminer le nombre de classes de l’histogramme. Généralement, dans le cadre d’une analyse de ce type, on utilise des classes de largeur (La largeur d’un objet représente sa dimension perpendiculaire à sa longueur, soit...) identique.

Le nombre de classes dépend du nombre de valeurs N dont on dispose.

Le nombre de classes K peut être déterminé par la formule suivante :

K= 1 + \frac{10 \log(N)}{3}

ou plus simplement

K = \sqrt{N}\,

Cependant, l’histogramme étant un outil visuel, il est possible de faire varier le nombre de classes. Ceci permet de voir l’histogramme avec un nombre différent de classes et ainsi de trouver le meilleur compromis qui facilitera l’interprétation. L’utilisation d’un logiciel (En informatique, un logiciel est un ensemble d'informations relatives à des traitements...) dédié ou plus simplement d’un tableur facilite cette opération.

Intervalles de classe

L’amplitude w de l’histogramme est

w = \hbox{valeur maximale} - \hbox{valeur minimale}\,

L’amplitude h théorique de chaque classe est alors :

 h = \frac{w}{K}

Il faut arrondir cette valeur à un multiple de résolution de l’instrument de mesure (arrondi à l'excès).

Exemple : Soit la masse d’une préparation culinaire avant conditionnement. Le calcul d'amplitude (Dans cette simple équation d’onde :) de classe donne hth = 0,014 kg. La résolution de la balance utilisée est de 0,001 kg. On arrondit la valeur h à 0,015 kg.

Les classes peuvent être du type [limite inférieure ; limite supérieure[ ou ] limite inférieure ; limite supérieure].

La valeur minimale de la première classe (Dans un moyen de transport (avion, train ou bateau), la première classe est la classe la plus...) est donnée (Dans les technologies de l'information (TI), une donnée est une description élémentaire, souvent...) par la valeur minimale de la série moins une demi-résolution.

Exemple : la valeur la plus petite relevée lors de la fabrication de la préparation culinaire est de 0,498 kg. La limite inférieur sera : 0,498 – (0,001 / 2) = 0,4975 kg.

Pour plus de facilité, il est préférable de prendre une valeurs « ronde » par exemple 0,495 kg

Exemple

Soit la fabrication de rations alimentaires, la pesée des rations avant emballage donne la série de mesures suivantes en kg :

0,547 0,563 0,532 0,521 0,514 0,547 0,578 0,532 0,552 0,526 0,534 0,560 0,502 0,503 0,516 0,565
0,532 0,574 0,521 0,523 0,542 0,539 0,543 0,548 0,565 0,569 0,574 0,596 0,547 0,578 0,532 0,552
0,554 0,596 0,529 0,555 0,559 0,503 0,499 0,526 0,551 0,589 0,588 0,568 0,564 0,568 0,556 0,523
0,526 0,579 0,551 0,584 0,551 0,512 0,536 0,567 0,512 0,553 0,534 0,559 0,498 0,567 0,589 0,579

Les caractéristiques du relevé sont les suivantes :

  • Le nombre d'échantillons : N=64
  • L'étendue : w=0,098 kg
  • Valeur minimale : 0,498 kg
  • Valeur maximale : 0,596 kg

On en déduit les paramètres suivants pour l'histogramme :

  • Le nombre de classes est de 7 (en utilisant la formule avec le logarithme)
  • L'amplitude de classe est 0,098/7 = 0,014 kg que l'on arrondit à 0,015 kg (résolution de la balance : 0,001 kg)
  • La valeur minimale de la première classe est de 0,498 – (0,001/2) = 0,4975. Par souci de facilité pour l'interprétation, on peut arrondir cette valeur à 0,495 kg.

On obtient l'histogramme (En statistiques, un histogramme est un graphe permettant de représenter la répartition...) suivant :

Histo alimentaire.svg

Interprétation

Comparaison d'un histogramme avec la courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du...) d'une loi normale (En probabilité, on dit qu'une variable aléatoire réelle X suit une loi normale (ou...).

La distribution de beaucoup de paramètres industriels correspond souvent à une loi normale. On compare souvent l'histogramme obtenu au profil « en cloche » de la loi normale. Cette comparaison est visuelle et même si elle peut être une première approche, elle ne constitue pas un test de « normalité ». Pour cela, il faut exécuter un test dont un des plus classiques est la droite de Henry (La droite de Henry est une méthode pour visualiser les chances qu'a une distribution d'être...).

La distribution suivant la loi normale, si elle est extrêmement fréquente, n'est pas systématique (En sciences de la vie et en histoire naturelle, la systématique est la science qui a pour...). On vérifiera que la distribution ne correspond pas à une distribution de défaut de forme (exemple : mesure de l'excentration dans un tube, position d'objets lancés dans la direction d'un mur (Un mur est une structure solide qui sépare ou délimite deux espaces.) dont certains rebondissent sur ce mur).

L'interprétation peut, par exemple, donner les résultats suivants :

Histogramme montrant un mélange de deux lots. Histogramme montrant un mélange de deux lots mais avec une moyenne (La moyenne est une mesure statistique caractérisant les éléments d'un ensemble de...) proche. On veillera dans ce cas à faire aussi varier le nombre de classes pour vérifier qu'il ne s'agit pas d'un problème de construction. Histogramme montrant que le lot a subi un tri. Tous les éléments pour lesquels la valeur du paramètre mesuré était inférieure à A ont été supprimés.
Histogramme proche loin.svg
Histogramme proche.svg
Histogramme tri inf.svg

Dans le cas d'histogramme montrant un mélange de deux lots ayant une moyenne différente (En mathématiques, la différente est définie en théorie algébrique des...), il existe des cas où la dispersion présente cet aspect sans pour autant incriminer un mélange. C'est par exemple le cas de la mesure d'une pièce cylindrique mais qui présente un défaut de type ovalisation. Les deux moyennes représentent alors le grand diamètre et le petit diamètre. C'est la connaissance du procédé et/ou du produit qui permet de réaliser ce type d'interprétation.

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