Carte de contrôle - Définition et Explications

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Une carte de contrôle est un outil permettant de determiner le moment où apparaît la cause assignable entraînant la dérive. Ainsi, le processus sera arrêté au bon moment, c’est-à-dire avant qu'il ne produise des pièces non conformes (hors de l'intervalle de Tolérance).

Les cartes de contrôle (Le mot contrôle peut avoir plusieurs sens. Il peut être employé comme synonyme d'examen, de...) les plus utilisées sont les cartes de contrôle par mesure de la moyenne (La moyenne est une mesure statistique caractérisant les éléments d'un ensemble de...) et de l'étendue. Ces cartes sont établies ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection...) et interprétées ensemble. En effet, la distribution des dimensions fabriquées modélisée par une loi Normale (En probabilité, on dit qu'une variable aléatoire réelle X suit une loi normale (ou...) est caractérisée par la moyenne et la dispersion (La dispersion, en mécanique ondulatoire, est le phénomène affectant une onde dans un...) (écart type).

SPC et contrôle qualité

Le créateur de la carte de contrôle est Walter A. Shewhart qui travailla au Bell (Bell Aircraft Corporation est un constructeur aéronautique américain fondé le 10 juillet 1935....) Telephone Laboratory de la Western Electric. Shewart publia en 1931 les principes de la variabilité d'un procédé en distinguant la variabilité aléatoire naturelle et la variabilité accidentelle. la variabilité naturelle est issue de 'causes communes de dispersion' ou 'perturbations normales' intégrées dans le processus de fabrication 'sous contrôle'. La variabilité accidentelle est dûe à des 'causes spéciales' occasionnelles et incontrôlées (matières premières aux caractéristiques fluctuantes, machines mal réglées, horaires de travail différents, qualification de la main-d'oeuvre, changements de température (La température est une grandeur physique mesurée à l'aide d'un thermomètre et...) ou de pression (La pression est une notion physique fondamentale. On peut la voir comme une force rapportée...), mauvaise lubrification ...). La SPC a pour mission de déterminer si le processus est sous contrôle ou non. Une analyse plus détaillée des causes des variations permettra d'améliorer ses performances et sa régularité. Les cartes de contrôle sont un outil (Un outil est un objet finalisé utilisé par un être vivant dans le but d'augmenter son...) graphique de visualisation du processus de fabrication dans le temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le...) et de mise en évidence de sa stabilité (surveillance des causes spéciales).

La carte de contrôle

Elles permettent d'effectuer un réglage opportun du procédé de fabrication et de connaître sa capabilité machine. Cet outil se présente comme un graphique dont les points représentent le suivi dans le temps d'une caractéristique du processus dont la valeur centrale (souvent la moyenne) est représentée par une ligne horizontale ainsi que les limites inférieure (LCL) et supérieure (UCL) (UCL : Upper Control Limit, LCL : Lower Control Limit).

Ces deux valeurs sont les limites à l'intérieur desquelles le processus est sous contrôle. Les valeurs de la caractéristique contrôlée doivent se trouver à l'intérieur des ces limites, sinon ces valeurs sont 'hors contrôle' et doivent être examinées.

Différentes cartes de contrôle

Deux cartes de contrôle sont nécessaires pour surveiller la position et la dispersion.

Cartes pour variables quantitatives

Les variables quantitatives sont des mesures continues (poids, longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus...), épaisseur, température, diamètre (Dans un cercle ou une sphère, le diamètre est un segment de droite passant par le centre...)..). On vérifie sur la carte de contrôle de la moyenne (mean chart) ou sur la carte d'étendue (range chart) que le caractère étudié sera stable dans le temps. La taille de l'échantillon (De manière générale, un échantillon est une petite quantité d'une matière, d'information, ou...) est de 4 à 6.

Cartes pour variables qualitatives

Pour mesurer des variables qualitatives (% de défectueux, ¨% de pannes...), on se sert de cartes aux attributs p, np ou c pour contrôler les attributs dans le temps. La taille d'échantillon est de l'ordre de 50 à 100.

Carte de contrôle à la moyenne et de l'étendue

Ces deux paramètres sont indépendants et complémentaires. La valeur moyenne peut varier sans que la dispersion ne varie et inversement.

Ces cartes de contrôle permettent de visualiser l'évolution de la dispersion des dimensions fabriquées. La carte de contrôle de l'écart type (En mathématiques, l'écart type est une quantité réelle positive, éventuellement infinie,...) est "plus juste" et moins dispersée que la carte de contrôle de l'étendue. Par contre, les calculs a réaliser pour tracer la carte de contrôle de l'entendue sont moins compliqués et donc plus fiables. La carte de contrôle de l'écart type sera mise en oeuvre si le tracé de la carte est informatisé ou assisté par un outil de calcul automatique (On nomme calcul automatique le fait de laisser des calculs se faire sans intervention humaine. Les...). La carte de contrôle de l'étendue sera en oeuvre si le tracé de la carte de contrôle est manuel sur un support papier (Le papier (du latin papyrus) est une matière fabriquée à partir de fibres...).

But

Cette carte de contrôle permet de visualiser l'évolution et la variation de la valeur moyenne des dimensions fabriquées. Cette carte de contrôle est tracée par points successifs représentant la valeur moyenne d'échantillon prélevés à intervalles réguliers.

Le but est de comparer les performances moyennes de production dans le temps à l'aide d'une carte qui caractérise la tendance de la valeur centrale. On effectue plusieurs observations (L’observation est l’action de suivi attentif des phénomènes, sans volonté de les...) individuelles sur plusieurs sous-groupes numérotés à une fréquence (En physique, la fréquence désigne en général la mesure du nombre de fois qu'un...) de temps donnée (Dans les technologies de l'information (TI), une donnée est une description élémentaire, souvent...) (toutes les heures (L'heure est une unité de mesure  :), trois fois par jour (Le jour ou la journée est l'intervalle qui sépare le lever du coucher du Soleil ; c'est la...) ...). Sur chaque sous-groupe k chronologique on effectue n observations. On reporte sur la carte de moyenne la moyenne du sous-groupe en fonction de son numéro chronologique qui sera reporté sur l'axe horizontal (Horizontal est une orientation parallèle à l'horizon, et perpendiculaire à la...) des cartes de contrôle. En raison du théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une...) limite central, la moyenne des valeurs sur la carte de contrôle suit une loi normale que les observations soient normalement distribuées ou non.
Cette loi est valable même pour des échantillons de petite taille, ce qui est fréquent en contrôle qualité. Une production sera dite 'stable',si la tendance et la dispersion sont statistiquement constantes dans le temps. La carte de contrôle à la moyenne surveille le réglage du procédé, la carte des étendues les dispersions.

Limites du contrôle

L'écart type est connu

Le calcul des limites de la carte de moyenne diffère selon que l'écart-type est connu ou non.
Lorsque l'écart-type du processus est connu, les caractéristiques de la distribution normale permettent de calculer les limites du contrôle. L'intervalle [μ − 3σ; − μ + 3σ], contient 99.7 % des données et représente les limites LCL et UCL des cartes de contrôle. La probabilité (La probabilité (du latin probabilitas) est une évaluation du caractère probable d'un...) pour qu'un point (Graphie) se trouve à l'extérieur des limites est donc 0,3%. La valeur de la moyenne diffère sensiblement selon que l'écart type de la population est connu ou non. Si la vraie valeur de la moyenne µ des observations est inconnue, on peut la remplacer par la moyenne par échantillon \overline{X}

LCL = \overline{X} - \frac{3\sigma}{\sqrt{n}}

UCL = \overline{X} + \frac{3\sigma}{\sqrt{n}}

94,74% des points doivent se trouver entre les limites si le processus est sous contrôle. L'interprétation de la carte de la moyenne est la même si la vraie moyenne du processus est connue ou inconnue.

L'écart type est inconnu

Dans beaucoup de cas, l'écart type σ est inconnu et doit être estimé par t (loi de Student) au lieu de la loi normale standard. On se sert alors d'un coefficient (En mathématiques un coefficient est un facteur multiplicatif qui dépend d'un certain...) A2 qui dépend du nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre...) d'observations dans chaque échantillon et du type de carte utilisé. Les limites de contrôle sont estimées en utilisant l'étendue moyenne des observations à l'intérieur d'un sous-groupe comme mesure de variabilité.

LCL = \overline{X} -A_2\overline{R}

UCL = \overline{X} +A_2\overline{R}

avec:
\overline{R} : étendue moyenne dans l'échantillon.
Elle est égale à la moyenne des étendues (valeur maximale du sous-groupe - valeur minimale) de chaque sous-groupe.Les limites se resserrent quand la taille du sous-groupe des échantillons augmente.

un exemple

La société Emballex fabrique des boîtes métalliques dont on contrôle le poids (Le poids est la force de pesanteur, d'origine gravitationnelle et inertielle, exercée par la...) à la sortie de fabrication. Cette caractéristique dépend essentiellement de la composition des matières premières et de la qualité de l'alliage (Un alliage est une combinaison d'un métal avec un ou plusieurs autres éléments...) réalisé. L'entreprise décide de contrôler le procédé de fabrication à l'aide de cartes de contrôle pour le poids moyen des pièces et l'étendue du poids pour chaque échantillonnage (L'échantillonnage est la sélection d'une partie dans un tout. Il s'agit d'une notion importante...) effectué. Le contrôle consiste à prélever 5 boîtes à la sortie de la machine et de peser chaque boîte. le poids exprimé en grammes. Les poids ont été enregistrés sur une série de 20 échantillons prélevés.

Tracer les cartes de contrôle pour les cartes X et R.

N° éch X1 X2 X3 X4 X5 Moy Ete
1 81 85 82 84 83 83 4
2 86 81 83 84 80 82 6
3 87 87 87 88 82 86,2 5
4 87 85 89 86 84 85,2 6
5 81 89 86 85 87 85,6 8
6 84 81 87 87 84 84,6 6
7 84 87 93 87 85 87,2 9
8 87 86 82 87 86 85,6 5
9 83 79 87 84 86 83,8 8
10 85 82 85 84 86 84,4 4
11 81 83 85 85 84 83,6 4
12 85 79 78 83 86 82,2 8
13 87 83 89 85 80 84,8 9
14 87 86 86 79 83 84,2 8
15 89 82 86 86 85 85,6 7
16 90 84 81 85 83 84,6 9
17 86 82 85 86 88 85,4 6
18 85 83 83 85 89 85 6
19 80 81 83 87 82 82,6 7
20 85 89 82 79 83 85,6 10

Le poids moyen est 84,5 g.
La limite supérieure est 87,81 g.
La limite inférieure est 81,18 g.
Le procédé de fabrication est sous contrôle.

Carte à l'étendue

Cartes de contrôle de l'étendue : Cette carte de contrôle permet de visualiser l'évolution et de la variation de l'étendue (image de la dispersion) des dimensions fabriquées. Cette carte de contrôle est tracée par points successifs représentant l'étendue d'échantillons prélevés à intervalles reguliers.

Les limites de contrôle sont les suivantes :

LCL = D3.\overline{R}

UCL = D4.\overline{R}

avec:
\overline{R} : étendue moyenne dans l'échantillon = R1 +R2 +...+Rk / k.
Ri étendue du sous-groupe i. k: nombre de sous-groupes. La moyenne des étendues indique l'importance de la variabilité naturelle du procédé. Pour l'exemple ci-dessus, l'étendue moyenne est 6,750 g.
La limite inférieure est: 0 g.
La limite supérieure est: 14,28 g.
Le procédé de fabrication est sous contrôle.

Coefficients

Ces coefficients servent (Servent est la contraction du mot serveur et client.) à calculer les limites de contrôle en fonction de la taille des échantillons et du type de carte utilisée.

Taille A2 D3 D4 Sigma
2 1,880 0 3,267 1,128
3 1,023 0 2,575 1,693
4 0,729 0 2,282 2,059
5 0,577 0 2,115 2,326
6 0,483 0 2,004 2,534
7 0,419 0,076 1,924 2,707
8 0,373 0,136 1,864 2,847
9 0,337 0,184 1,816 2,970
10 0,308 0,223 1,777 3,078
11 0,285 0,256 1,744 3,173
12 0,266 0,284 1,716 3,258
13 0,249 0,308 1,692 3,336
14 0,235 0,329 1,671 3,407
15 0,223 0,348 1,652 3,472
16 0,212 0,364 1,636 3,532
17 0,203 0,379 1,621 3,588
18 0,194 0,392 1,608 3,640
19 0,187 0,404 1,596 3,689
20 0,180 0,414 1,586 3,735

Cartes de contrôle aux attributs

Si l'on ne désire pas effectuer un contrôle de variables par mesures, ou si cela n'est pas possible, on préfèrera la contrôle de la qualité par attributs qui consiste à noter la présence ou l'absence d'un critère qualitatif sur les pièces contrôlées. Exemples: contrôle visuel (absence de défaut ou non), dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce...) trop petite ou trop grande (passage de la pièce dans un calibre)....
Les principales cartes de contrôle aux attributs sont:
1- La carte p pour la proportion de défectueux.
2- La carte np pour le suivi du nombre de défectueux.
3- La carte c pour le suivi du nombre de défauts.

Carte p

Principe

On utilise cette carte pour suivre la proportion p de défectueux contenus dans un échantillon en provenance d'un lot ou d'une machine. Sur un prélèvement au hasard (Dans le langage ordinaire, le mot hasard est utilisé pour exprimer un manque efficient, sinon...), à intervalle régulier, d'un échantillon de n pièces, on note le nombre de défectueux trouvés que l'on divise par l'effectif de l'échantillon n (n > 50) pour obtenir p.
p = nombre de pièces défectueuses / nombre de pièces dans l'échantillon = d / n

On reporte périodiquement p sur une carte de contrôle où l'on fera apparaître la moyenne de proportion des défectueux et les limites inférieures et supérieures correspondantes.
La proportion moyenne de défectueux sur l'ensemble des prélèvements est: \overline{p} = \Sigma{d} / \Sigma{n}
Les limites de contrôle se situent à 3 écarts-types de chaque côté de la proportion moyenne.

LIC = \overline{p} - 3\sqrt{\frac{\overline{p}(1 - \overline {p})}{n}}

LSC = \overline{p} + 3\sqrt{\frac{\overline{p}(1 - \overline {p})}{n}}

La loi qui régit la carte de contrôle p est la loi binomiale (En mathématiques, une loi binomiale de paramètres n et p est une loi de probabilité...): constatation de d pièces défectueuses (deux modalités) sur un prélèvement au hasard de n pièces. Lorsque n est grand, une approximation (Une approximation est une représentation grossière c'est-à-dire manquant de...) par la loi normale est légitime. L'intervalle [μ − 3σ; − μ + 3σ], contient alors 99.7 % des données contenues dans les limites LCL et UCL des cartes de contrôle.

Exemple

L'entreprise GLASSEX fabrique des poignées en matière plastique (Une matière plastique ou en langage courant un plastique est un mélange contenant une...) utilisées dans l'ameublement des cuisines et salles de bain. On effectue un contrôle visuel toutes les heures sur un échantillon de 65 poignées pour détecter les principaux défauts: éraflures, couleur (La couleur est la perception subjective qu'a l'œil d'une ou plusieurs fréquences d'ondes...) douteuse, microfissures, etc...afin de suivre le taux de défectueux dans le procédé de fabrication. Les résultats sur 28 séries d'échantillons sont mentionnés dans le tableau (Tableau peut avoir plusieurs sens suivant le contexte employé :) ci-contre.
On obtient une moyenne pour p de 0,079 avec un écart type moyen de 0,031 de défectueux.
La limite supérieure de la carte p est 0.179.

Carte np

L'utilisation de la carte np est recommandé si l'effectif n de l'échantillon demeure le même pour chaque série d'échantillons. On reporte sur la carte np le nombre de défectueux observés chronologiquement dans les prélèvements successifs. Le nombre de défectueux dans un échantillon de taille n est d = np. Pour k prélèvements d'effectif n, le nombre moyen de défectueux est: n\overline{p} = \Sigma{d} / k
avec
\overline{p} = \Sigma{d} / n.k
On peut calculer les limites de contrôle basées sur des intervalles de trois écarts-types autour (Autour est le nom que la nomenclature aviaire en langue française (mise à jour) donne...) du nombre moyen de défectueux.
LIC = n\overline{p} - 3\sqrt{n\overline{p}(1 - \overline {p})}
LSC = n\overline{p} + 3\sqrt{n\overline{p}(1 - \overline {p})}

Carte c

La carte c est utilisée pour suivre chronologiquement le nombre de défauts par unité contrôlée (100 mètres de câble, 20 mètres de rouleau de papier peint,...). Elle est différente (En mathématiques, la différente est définie en théorie algébrique des...) des cartes p et np, car le critère suivi est le nombre de défauts et non le nombre de défectueux (refusés), une pièce présentant des défauts pouvant être ou non acceptée. Suivant le critère de gravité (La gravitation est une des quatre interactions fondamentales de la physique.) du défaut (critique, majeur ou mineur), la pièce sera ou non considérée comme défectueuse. Le nombre moyen de défauts observés sur k unités contrôlées est : \overline{c} = \Sigma{c_i} / k
ci est le nombre de défauts observé pour la i ième unité contrôlée. Les limites de contrôle sont donc:
LIC = \overline{c} - 3\sqrt{\overline{c}}
LSC = \overline{c} + 3\sqrt{\overline{c}}

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