Matrice D de Wigner - Définition

Introduction

La matrice D de Wigner est une matrice d'une représentation irréductible des groupes SU(2) et SO(3). Le conjugué complexe de la matrice D est une fonction propre du hamiltonien des rotateurs rigides sphériques et symétriques. Cette matrice fut introduite en 1927 par Eugene Wigner.

Définition de la matrice D de Wigner

Soient j_x, j_y, j_z des générateurs d'une algèbre de Lie de SU(2) et SO(3). En mécanique quantique ces trois opérateurs sont les composantes d'un opérateur vectoriel appelé moment angulaire. On peut citer comme exemple le moment angulaire d'un électron dans un atome, le spin, ou le moment angulaire d'un rotateur rigide. Dans tous les cas, les trois opérateurs satisfont aux relations de commutation suivantes :

où i est un nombre imaginaire pur et la constante de Planck a été considérée comme égale à l'unité. L'opérateur

est un opérateur de Casimir de SU(2) (ou SO(3) selon les cas). Il peut être diagonalisé avec j_z (le choix de cet opérateur est une convention), qui commute avec j². Ceci étant, on peut montrer qu'il existe un ensemble complet de kets avec :

où et . Pour SO(3) le nombre quantique j est entier).

Un opérateur de rotation peut être écrit de la façon suivante :

où et sont des angles d'Euler (caractérisés par : la convention z-y-z, un repère orienté à droite, règle de vissage à droite, rotation active).

La matrice D de Wigner est une matrice carrée de dimension 2j + 1 avec pour élément général :

La matrice avec l'élément général :

est connue sous le nom de matrice d de Wigner (lire matrice petit d).

Propriétés de la matrice D de Wigner

Le complexe conjugué de la matrice D satisfait à un ensemble de propriétés différentielles qui peuvent être formulées de manière concise par l'introduction des opérateurs suivants avec ,

qui ont une signification en mécanique quantique : ce sont des opérateurs de moment angulaire pour un rotateur rigide fixe dans l'espace.

De plus,

qui ont une signification en mécanique quantique : ce sont des opérateurs de moment angulaire pour un rotateur rigide à référentiel lié.

Les opérateurs satisfont aux relations de commutation :

et ax relations correspondantes par permutation circulaire des indices.

Les satisfont les relations de commutation anomales (qui ont un signe moins du côté droit).

Les deux ensembles commutent mutuellement :

et les opérateurs totaux au carré sont égaux :

Leur forme explicite est :

Les opérateurs agissent sur le premier indice (ligne) de la matrice D :

et

Les opérateurs agissent sur le second indice (colonne) de la matrice D :

et en raison de la relation de commutation anomale, les opérateurs d'augmentation/de minimisation sont définis avec des signes inversés :

Enfin,

En d'autres termes, les lignes et colonnes de la matrice D de Wigner (conjugué complexe) couvrent les représentations irréductibles de l'algèbre de Lie isomorphe générée par et .

Une propriété importante de la matrice D de Wigner découle de la commutation de avec l'opérateur d'inversion temporelle ,

ou

Ici, on a utilisé le fait que est anti-unitaire (une fois que la conjugaison complexe après avoir déplacé du ket au bra), and ( − 1)^{2j − m' − m} = ( − 1)^{m' − m}.