Matrice de variance-covariance - Définition

Introduction

Une matrice de variance-covariance est une matrice carrée caractérisant les interactions (linéaires) entre p variables aléatoires .

Définition

La matrice de variance-covariance (ou simplement matrice de covariance) d'un vecteur de p variables aléatoires dont chacune a une variance (finie) est la matrice carrée dont le terme générique est donné par:

La matrice de variance-covariance, notée parfois , est donc définie comme:

En développant les termes:

Estimation

Un estimateur non-biaisé de la matrice de variance-covariance peut être obtenu par:

où est le vecteur des moyennes empiriques.

L'estimateur du maximum de vraisemblance, sous l'hypothèse que X suit une loi normale multidimensionnelle, vaut par contre:

Dans le cas où les données sont générées par une loi normale multidimensionnelle, l'estimateur du maximum de vraisemblance suit une loi de Wishart (en)

Propriétés

• La matrice est symétrique, étant donné la propriété que , .
• Ses valeurs propres sont positives ou nulles. Lorsqu'il n'existe aucune relation affine presque sûre entre les composantes du vecteur aléatoire, la matrice est à valeurs propres strictement positives : elle est définie positive.
• Les éléments de sa diagonale représentent la variance de chaque variable, étant donné la propriété que:
• Les éléments en dehors de la diagonale représentent la covariance entre les variables i et j quand .

Test sur la matrice de variance-covariance

Le test de sphéricité de Bartlett permet de déterminer si les composantes hors de la diagonale de la matrice sont différentes de zéro, i.e. si il y a une relation entre les différentes variables prises en considération.

Utilisation en statistique

La matrice de variance-covariance est un outil essentiel pour l'analyse multivariée:

• L'analyse en composantes principales se base sur une décomposition de la matrice de variance-covariance.
• L'analyse discriminante l'utilise.