Caractérisation par une droite de pente
ou
avec
, le nombre d'or
Un Mot de Fibonacci est une suite spécifique de lettres ou symboles pris dans un alphabet quelconque de deux lettres. Les mots de Fibonacci sont à l'opération de concaténation ce que les nombres de Fibonacci sont à l'addition.
Définition
À partir de l'alphabet {0;1}, Posons S1 = "1" and S2 = "0". alors le mot de FibonacciSn = Sn − 1Sn − 2 (la concaténation des deux précédents termes).
Le mot infini de Fibonacci est la limite
.
Le mot de Fibonacci est baptisé par analogie avec la suite de Fibonacci, en substituant l'addition par la concaténation.
Les mots de Fibonacci successifs sont :
S1 1
S2 0
S3 01
S4 010
S5 01001
S6 01001010
S7 0100101001001
S8 010010100100101001010
...
Le mot infini de Fibonacci commence donc par : 010010100100101001010010010100100101001010010010100101... Cette suite infinie est la suite A003849 de l’OEIS.
On trouve dans la littérature également le terme "suite du Lapin", identique au mot de Fibonacci en inversant "0" et "1". La suite du Lapin commence donc par 101101011...
Fractale du mot de Fibonacci
Les trois types de courbes fractales du mot de Fibonacci.
La nieme lettre du mot de Fibonacci est
où
est le Nombre d'or et
est la fonction partie entière (suite A003849 de l’OEIS).
Règle de substitution ou morphisme
Les mots de Fibonacci peuvent être définis via un morphisme (ou substitution).
Partant d'un mot de Fibonacci Sn, on obtient le mot Sn + 1 en :
remplaçant la lettre "1" par "0"
remplaçant la lettre "0" par "01"
Que l'on peut aussi écrire :
Sn + 1 = σ(Sn) avec σ le morphisme défini par :
σ(1) = 0 et
σ(0) = 01
et, pour le mot infini de Fibonacci, .
On dit aussi que le mot infini de Fibonacci est le point fixe du morphisme σ car
. Ce morphisme est appelé "Morphisme de Fibonacci".
Mot de Fibonacci et suite de Fibonacci
Mot de Fibonacci et Suite de Fibonacci sont étroitement liés. Chaque mot de Fibonacci étant la concaténation des deux précédents et partant de "1", puis "0", alors la longueur du mot de Fibonacci Sn vaut le nombre de Fibonacci Fn.
On écrit: | Sn | = Fn
Sn
long.= Fn
1
1
0
1
01
2
010
3
01001
5
01001010
8
0100101001001
13
010010100100101001010
21
De même, on montre que:
le nombre de "0" vaut Fn − 1
le nombre de "1" vaut Fn − 2
Diverses propriétés
Le mot infini de Fibonacci n'est pas périodique. Il n'est pas, non plus, ultimement périodique.
Les deux dernières lettres d'un mot de Fibonacci sont alternativement "01" et "10"
En supprimant les deux dernières lettres d'un mot de Fibonacci, on obtient un palindrome.
En juxtaposant le complément binaire des deux dernières lettres d'un mot de Fibonacci au début de ce mot, on obtient un palindrome. Ainsi 01S6 = 0101001010 est un palindrome.
Dans le mot infini de Fibonacci, le rapport (nombre de lettres/nombre de "0") tend vers φ, le nombre d'or ; de même pour le rapport (nombre de "0"/nombre de "1").
Le mot de Fibonacci est "équilibré": Soit deux facteurs de même longueur pris n’importe où dans le mot de Fibonacci, la différence entre le nombre de "0" de l’un et le nombre de "0" de l’autre ne dépasse jamais la valeur 1. Nota: tout mot sturmien est équilibré.
On ne peut trouver dans un mot de Fibonacci le facteur ("sous-mot") "11" ni "000".
Dans le mot infini de Fibonacci, le nombre de facteurs (sous-mots) distincts de longueur k est k+1. Le mot infini de Fibonacci est donc un mot sturmien. Ainsi, les facteurs distincts de longueur 3 sont au nombre de 4: "001", "010", "100" et "101". Étant non-périodique, ce mot est alors de dit de "complexité minimale".
Chaque facteur du mot infini de Fibonacci y apparait une infinité de fois.
Si un mot est facteur du mot infini de Fibonacci, alors son inverse l'est aussi.
La concaténation de deux mots de Fibonacci successifs est "presque commutative". Ainsi, Sn + 1 = SnSn − 1 et Sn − 1Sn diffèrent seulement sur les deux dernières lettres. Exemple: S8 = S7S6 = (0100101001001)(01001010) et S6S7 = (01001010)(0100101001001).
Le mot infini de Fibonacci est le mot sturmien de pente 1 / φ2 avec φ, le nombre d'or
Par conséquent, le mot infini de Fibonacci peut aussi se caractériser par la suite des intersections d'une droite de pente φ ou φ − 1 (φ = nombre d'or), avec les droites de coordonnées entières. Voir figure plus haut.
Le nombre 0,010010100..., dont les décimales sont construites à partir du mot infini de Fibonacci, est transcendant.
Les lettres "1" se situent aux positions données par les valeurs successives de la suite Upper Wythoff (suite A001950 de l’OEIS) :
Les lettres "0" se situent aux positions données par les valeurs successives de la suite Lower Wythoff (suite A000201 de l’OEIS) :
Le mot de Fibonacci admet des répétitions de 3 sous-mots (cubes), comme "010", mais pas de répétitions de 4 sous-mots. On montre que le mot de Fibonacci admet au plus 2 + φ = 3,618 répétitions. C'est le plus faible index (ou "exposant critique") parmi les mots sturmiens.