Polygone régulier - Définition

Construction à la règle et au compas

Un polygone régulier (convexe ou étoilé) à n arêtes peut être construit avec la règle et le compas si et seulement si les facteurs premiers impairs de n sont des nombres premiers de Fermat distincts, (cf l'article Théorème de Gauss-Wantzel).

Symétrie

Le groupe de symétrie d'un polygone régulier à n-côtés est le groupe diédral (ou diédrique) D_n (d'ordre 2n) : D₂, D₃, D₄,... Il est constitué des rotations dans C_n (le groupe de symétrie rotationnelle d'ordre n), avec les symétries de réflexion par n axes qui passent à travers le centre. Si n est pair, alors la moitié de ces axes passent à travers deux sommets opposés, et l'autre moitié à travers le milieu des côtés opposés. Si n est impair, alors tous les axes passent à travers un sommet et le milieu du côté opposé.

Polyèdres

Un polyèdre uniforme est un polyèdre avec des polygones réguliers pour faces tels que pour chaque paire de sommet, il existe une isométrie appliquant l'un sur l'autre.Le mot polygone vient du mot poly ( plusieurs) et gone (angles).

Polygones réguliers non convexes

Un pentagramme

Un exemple de polygone régulier étoilé est le pentagramme, qui a les mêmes sommets qu'un pentagone, mais qui est connecté par des sommets alternés.

Les premiers polygones étoilés non composés sont :

• Pentagramme - {5/2}
• Heptagramme - {7/2}, {7/3}
• Octogramme - {8/3}
• Ennéagramme - {9/2}, {9/4}
• Décagramme - {10/3}

(Voir l'article Stellation)