Polygone régulier - Définition et Explications

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Introduction

Pentagone convexe régulier

En géométrie, un polygone régulier est un polygone équilatéral (tous ses côtés ont la même longueur) dont, de plus, tous les angles ont même mesure. Un polygone régulier (En géométrie, un polygone régulier est un polygone équilatéral (tous ses...) est soit un polygone (En géométrie euclidienne, un polygone (du grec polus, nombreux, et gônia, angle) est...) convexe (En géométrie, un objet est convexe si pour toute paire de points { A , B } de cet objet, le...), soit un polygone étoilé (en).

Tous les polygones réguliers convexes d'un même nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre...) de côtés sont semblables.

Dans certains contextes, tous les polygones considérés seront convexes et réguliers. Dans de telles circonstances, il est d'usage (L’usage est l'action de se servir de quelque chose.) de sous-entendre les deux épithètes « convexe régulier ». Par exemple, toutes les faces des polyèdres uniformes doivent être convexes et régulières et les faces seront décrites simplement en tant que triangle (En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane, formée par trois points...), carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses...), pentagone...

De tels polygones sont le support des nombres polygonaux.

Les multiples propriétés des polygones réguliers ont conduit à leur étude mathématique depuis l'Antiquité et à diverses interprétations symboliques, religieuses ou magiques.

Propriétés

Définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la...) équivalente

Une définition équivalente de "polygone régulier" peut être formulée par rotation : si on se donne deux points O et A, un nombre entier n supérieur ou égal à 3, alors les images successives de A par des rotations de centre O et d'angles \frac{360}{n}^\circ génèrent les sommets d'un polygone régulier à n côtés et centre O.

Vocabulaire

Apothème (Un apothème est un terme désignant la ligne de construction définissant la médiatrice du côté...) d'un hexagone (Un hexagone (du grec hexi = six et gonia = angle) est un polygone à six sommets et six...) régulier

Tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou...) polygone régulier est inscrit dans un cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale...). Le centre et le rayon de ce cercle sont également appelés centre et rayon du polygone régulier. La distance entre le centre du polygone et chacun des côtés est l'apothème.

Comme les polygones convexes réguliers à n côtés sont semblables, la donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire,...) d'une des trois longueurs (côté, rayon ou apothème) permet de connaître les deux autres et donc de caractériser le polygone.

Si on note a l'apothème, r le rayon et c la moitié du côté d'un polygone régulier à n côtés, ces longueurs sont liées par le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une...) de Pythagore :

a2 + c2 = r2

et par les formules de trigonométrie (La trigonométrie (du grec τρίγωνος /...) (les angles étant exprimés en Degrés) suivantes :

a = r\cos\left(\dfrac{180}{n}\right)
c = r\sin\left(\dfrac{180}{n}\right)
c = a\tan\left(\dfrac{180}{n}\right)

Angles

Les angles au centre d'un polygone régulier à n côtés mesurent \dfrac{360^\circ}{n}.

Chaque angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts...) d'un polygone convexe régulier à n côtés a une mesure de (1-\frac{2}{n})\times 180 = (n-2)\times \frac{180}{n} degrés, ou encore \frac{(n-2)\pi}{n} radians ou \frac{(n-2)}{2n} tours.

Aire (Aires (en espagnol, les airs) est une compagnie aérienne intérieure de Colombie.) et périmètre (Le périmètre d'une figure plane est la longueur du bord de cette figure. Le calcul du...)

Si t est la longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus...) d'une arête, l'aire a et le périmètre p d'un polygone convexe régulier à n côtés est donnée par la formule suivante :

a=\frac{nt^2}{4\tan(\pi/n)}\quad\text{et}\quad p = nt

Si ρ désigne le rayon du polygone, c'est-à-dire la distance entre le centre et un sommet, on obtient :

 a = \frac n2 \sin \left(\frac {2\pi}{n}\right)\rho^2 \quad\text{et}\quad p = 2n \sin \left(\frac {\pi}n\right)\rho

Cette aire est aussi égale à la moitié du périmètre multiplié par la longueur de l'apothème.

Si n est grand, les valeurs π/n et 2π/n deviennent petites, le sinus (En mathématiques, les fonctions trigonométriques sont des fonctions d'angle importantes pour...) d'une petite valeur est proche de cette valeur. Plus la valeur est petite, plus la proximité est bonne, on en déduit que plus le nombre de côtés d'un polygone augmente, plus son périmètre et son aire se rapprochent de ceux d'un cercle de même rayon.

Les polygones convexes réguliers ont une propriété remarquable, connue depuis les grecs. Parmi tous les polygones de même nombre de côtés et de même périmètre, celui qui est convexe régulier possède la plus grande aire. Cette aire, toujours plus petite que celle du cercle de même rayon, s'en rapproche au fur (Fur est une petite île danoise dans le Limfjord. Fur compte environ 900 hab. . L'île...) et à mesure que n devient plus grand. Ces propriétés sont traitées dans l'article Isopérimétrie (En géométrie plane, l'isopérimétrie traite, en particulier, la question de...).

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