Réduction de Gauss - Définition
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Introduction
En mathématiques, la réduction de Gauss est un algorithme permettant de représenter toute forme quadratique sur un espace vectoriel de dimension finie (sur un corps commutatif de caractéristique différente de deux) comme une combinaison linéaire de carrés de formes linéaires indépendantes. La méthode employée est proche de la mise sous forme canonique d'une équation du second degré. Cet algorithme est nommé ainsi en l'honneur du mathématicien Carl Friedrich Gauss.
Enoncé
Réduction de Gauss — Pour toute forme quadratique sur un espace vectoriel de dimension finie, il existe un entier naturel r, des formes linéaires
Dans une base
avec aij = aji.
On procède par récurrence sur le nombre des coordonnées xk qui figurent réellement dans cette expression de q (c'est-à-dire le nombre d'indices k pour lesquels au moins un aki est non nul).
Si ce nombre est 0 (c'est-à-dire si q est nulle) il n'y a rien à montrer : on prend juste r=0.
Supposons donc q non nulle. On distingue deux cas.
1) L'un des coefficients aii est non nul.
On peut, quitte à permuter les vecteurs de base, supposer que
On applique à ces derniers la technique de résolution d'une équation du second degré :
On obtient ainsi que
où
où les li sont des combinaisons linéaires de
2) Tous les aii sont nuls.
Puisque q est supposée non nulle, il existe des entiers
La somme des termes en x1 ou x2 s'écrit aussi
On voit que
où
En langage matriciel, cela signifie que toute matrice symétrique est congruente à une matrice diagonale, c'est-à-dire que pour toute matrice symétrique M d'ordre n, il existe une matrice inversible Q telle que tQMQ soit diagonale (les coefficients diagonaux sont les
L'entier r est le rang de la forme quadratique. C'est aussi le rang de n'importe quelle matrice représentant cette forme dans une base.
Contrairement aux valeurs propres, les ci ne sont pas uniques, même à permutation près.
Applications
Si le corps de base est
Autrement dit, sous l'action du groupe linéaire, les formes quadratiques sont classées par leur rang. En langage matriciel, deux matrices symétriques complexes sont congruentes si et seulement si elles sont même rang.
Si le corps de base est
Cet entier ne dépend pas de la décomposition d'après la loi d'inertie de Sylvester.
- Si s=0, la forme quadratique est positive (définie positive si et seulement si de plus r=n),
- si s=r elle est négative (définie négative si et seulement si de plus r=n).
Si le corps de base est
Elle donne un algorithme pour trouver une base dans laquelle la matrice de q est diagonale.
