Solide de Johnson - Définition

Introduction

La gyrobicoupole octogonale allongée (J₃₇), un solide de Johnson.

Ce cube composé de 24 faces carrées n'est pas un solide de Johnson parce qu'il n'est pas strictement convexe (il a des angles diédraux égaux à zéro.

Cet exemple à 24 triangles n'est pas un solide de Johnson parce qu'il est concave.

En géométrie, un solide de Johnson est un polyèdre strictement convexe dont chaque face est un polygone régulier et qui n'est pas un solide de Platon, un solide d'Archimède, un prisme ou un antiprisme. Il n'est pas nécessaire que chaque face soit un polygone identique, ou que les mêmes polygones se rejoignent autour de chaque sommet. Un exemple de solide de Johnson est la pyramide à base carrée avec des côtés triangulaires équilatéraux (J₁) ; il possède une face carrée et quatre faces triangulaires.

Comme dans un solide strictement convexe au moins trois faces se rencontrent à chaque sommet, le total de leurs angles est moindre que 360 degrés. Puisqu'un polygone régulier possède des angles supérieurs à 60 degrés, on en déduit que cinq faces au plus se rencontrent à un sommet quelconque. La pyramide pentagonale (J₂) est un exemple qui a un sommet de degré 5.

Bien qu'il n'existe pas de restriction évidente qu'un polygone régulier quelconque donné puisse être un solide de Johnson, il s'avère que les faces des solides de Johnson ont toujours 3, 4, 5, 6, 8 ou 10 côtés.

En 1966, Norman Johnson a publié une liste qui incluait les 92 solides, et leur donna leurs noms et leurs nombres. Il ne démontra pas qu'il n'en existait que 92, mais il conjectura qu'il n'y en avait pas d'autres. Victor Zalgaller en 1969 a démontré que la liste de Johnson était complète. On utilise les noms et l'ordre donnés par Johnson, et on les note J_xx.

Des solides de Johnson, la gyrobicoupole octogonale allongée (J₃₇) est le seul qui est de sommet uniforme : il existe quatre faces à chaque sommet, et leur arrangement est toujours le même : trois carrés et un triangle.

Noms

Les noms sont listés ci-dessous et sont plus descriptifs que ce que l'on entend. Beaucoup de ces solides peuvent être construits par ajout de pyramides, de coupoles et de rotondes sur des faces de solide de Platon, solide d'Archimède, de prismes ou d'antiprismes.

• Le préfixe Bi- signifie que deux copies du solide en question sont jointes base sur base. Pour les coupoles et les rotondes, elles peuvent être jointes telles que les faces se rencontrent (ortho-) ou non (gyro-). Dans cette nomenclature, un octaèdre serait nommé une bipyramide carrée, un cuboctaèdre serait nommé une gyrobicoupole hexagonale et un icosidodécaèdre une gyrobirotonde décagonale.

• Allongé signifie qu'un prisme a été joint à la base du solide en question ou entre les bases des solides en question. Un rhombicuboctaèdre serait nommé une orthobicoupole octogonale allongée.
• Gyroallongée signifie qu'un antiprisme a été joint à la base du solide en question ou entre les bases des solides en question. Un icosaèdre serait nommé une bipyramide pentagonale gyroallongée.

• Augmenté signifie qu'une pyramide ou une coupole a été jointe à une face du solide en question.
• Diminuée signifie qu'une pyramide ou une coupole a été enlevée du solide en question.

• Gyration signifie qu'une coupole sur le solide en question a subi une rotation telle que les différentes arêtes coïncident, comme pour la différence entre ortho et gyro bicoupoles.

Les trois dernières opérations — augmentation, diminution et gyration — peuvent être exécutées plus d'une fois sur un solide suffisamment grand. Nous ajoutons bi- au nom de l'opération pour indiquer que cela a été exécuté deux fois. (Un solide bigyré a deux de ses coupoles ayant subi une rotation). Nous ajoutons tri- pour indiquer que cela a été exécuté trois fois. (Un solide tridimininué a trois de ses pyramides ou coupoles enlevées).

Quelquefois, bi- tout seul n'est pas assez précis. Nous devons distinguer entre un solide qui a deux faces parallèles altérées et un qui a deux faces obliques altérées. Lorsque deux faces altérées sont parallèles, nous ajoutons para- au nom de l'opération. (Un solide parabiaugmenté possède deux faces parallèles augmentées). Lorsque elles ne le sont pas, nous ajoutons méta- au nom de l'opération. (Un solide métabiaugmenté possède deux faces obliques augmentées).