Solide de Kepler-Poinsot - Définition et Explications

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Histoire

Un petit dodécaèdre étoilé apparait dans mosaïque du sol de la basilique Saint-Marc de Venise en Italie. Il date du XVe siècle et est quelquefois attribué à Paolo Uccello.

Dans sa Perspectiva corporum regularium (Perspectives des solides réguliers) [1], un livre de gravures sur bois publié au XVIe siècle (Un siècle est maintenant une période de cent années. Le mot vient du latin saeculum, i, qui...), Wenzel Jamnitzer dépeint le grand dodécaèdre (Un dodécaèdre est un solide composé de 12 faces. Le préfixe dodéca-, d'origine grecque, fait...). Il est clair, à partir de l'arrangement (La notion d'arrangement est utilisée en probabilités, et notamment pour les...) général du livre, qu'il considère les cinq solides de Platon (Platon (en grec ancien Πλάτων / Plátôn),...) comme réguliers, sans comprendre la nature régulière de son grand dodécaèdre. Il dépeint aussi une figure souvent confondue avec le grand dodécaèdre étoilé, bien que les surfaces triangulaires des bras ne sont pas tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou...) à fait coplanaires, il possède 60 faces triangulaires.

Les solides de Kepler ont été découverts par Johannes Kepler (Johannes Kepler (ou Keppler), né le 27 décembre 1571 à Weil der Stadt dans...) en 1619. Il les obtint par stellation (En géométrie, la stellation est un procédé de construction de nouveaux...) du dodécaèdre convexe (En géométrie, un objet est convexe si pour toute paire de points { A , B } de cet objet, le...) régulier, d'abord en le traitant comme une surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a...) plutôt qu'un solide. Il nota qu'en étendant les arêtes ou les faces du dodécaèdre convexe jusqu'à ce qu'elles se rencontre à nouveau, il pouvait obtenir des pentagones étoilés. De plus, il reconnut que ces pentagones étoilés étaient aussi réguliers. Il trouva deux dodécaèdres étoilés de cette manière, le petit et le grand. Chacun possède la région convexe centrale de chaque face "cachée" avec l'intérieur, avec seulement le bras triangulaire visible. L'étape finale de Kepler fut de reconnaitre que ces polyèdres coïncidaient avec la définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la...) des solides réguliers, même s'ils n'étaient pas convexes, comme l'étaient les solides de Platon traditionnels.

En 1809, Louis Poinsot redécouvrit ces deux figures. Il a considéré aussi les sommets étoilés aussi bien que les faces étoilés, et ainsi découvrit deux étoiles régulières de plus, le grand icosaèdre (En mathématiques, et plus précisément en géométrie, un icosaèdre est...) et le grand dodécaèdre. Certaines personnes appellent celles-ci les solides de Poinsot. Poinsot ne savait pas s'il avait découverts tous les polyèdres étoilés réguliers.

Trois ans plus tard, Augustin Cauchy démontra que la liste était complète, et presque un demi-siècle plus tard Bertrand fournit une démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir...) plus élégante en facettant les solides de Platon.

Les solides de Kepler-Poinsot reçurent leurs noms l'année (Une année est une unité de temps exprimant la durée entre deux occurrences d'un évènement lié...) suivante, en 1859, par Arthur Cayley.

Trivia

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  • Une dissection d'un grand dodécaèdre a été utilisée pour le puzzle des années 80, l'étoile (Une étoile est un objet céleste émettant de la lumière de façon autonome, semblable à une...) d'Alexandre.
  • L'intérêt de l'artiste (Est communément appelée artiste toute personne exerçant l'un des métiers ou activités...) M.C. Escher dans les formes géométriques ont souvent conduit à baser ses travaux sur des solides réguliers ou à les inclure; Gravitation (La gravitation est le phénomène d'interaction physique qui cause l'attraction...) est basé sur un petit dodécaèdre étoilé.
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