Solide de Kepler-Poinsot - Définition et Explications

Source: Wikipédia sous licence CC-BY-SA 3.0.
La liste des auteurs de cet article est disponible ici.

Introduction

Une face unique est colorée en jaune et entourée de rouge pour aider à identifier les faces.

Les solides de Kepler-Poinsot sont les polyèdres étoilés réguliers. Chacun possède des faces qui sont des polygones convexes réguliers congruents ou des polygones étoilés et possède le même nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre...) de faces se rencontrant à chaque sommet (comparer avec les solides de Platon).

Il existe quatre solides de Kepler-Poinsot :

  • le petit dodécaèdre (Un dodécaèdre est un solide composé de 12 faces. Le préfixe dodéca-, d'origine grecque, fait...) étoilé
  • le grand dodécaèdre étoilé
  • le grand dodécaèdre
  • le grand icosaèdre (En mathématiques, et plus précisément en géométrie, un icosaèdre est...).

Géométrie

Nom Image Symbole de
Schläfli
{p,q}
Faces
{p}
Arêtes Sommets
{q}
figsom.
χ Symétrie Dual
Petit dodécaèdre étoilé Small stellated dodecahedron.png {5/2,5} 12
{5/2}
Pentagram.svg
30 12
{5}
Pentagon.svg
-6 Ih Grand dodécaèdre
Grand dodécaèdre étoilé Great stellated dodecahedron.png {5/2,3} 12
{5/2}
Pentagram.svg
30 20
{3}
Triangle.Equilateral.svg
2 Ih Grand icosaèdre
Grand dodécaèdre Great dodecahedron.png {5,5/2} 12
{5}
Pentagon.svg
30 12
{5/2}
Pentagram.svg
-6 Ih Petit dodécaèdre étoilé
Grand icosaèdre Great icosahedron.png {3,5/2} 20
{3}
Triangle.Equilateral.svg
30 12
{5/2}
Pentagram.svg
2 Ih Grand dodécaèdre étoilé

Le petit et le grand dodécaèdre étoilé ont des faces en forme de pentagrammes non convexes réguliers. Le grand dodécaèdre et le grand icosaèdre ont des faces en forme de pentagones convexes, mais ont des figures de sommets en forme de pentagrammes. La première paire (On dit qu'un ensemble E est une paire lorsqu'il est formé de deux éléments distincts...) et la deuxième sont les duaux les uns les autres.

Ces figures peuvent induire en erreur, car elles incluent les pentagrammes comme des faces et des figures de sommets. Les faces et les sommets peuvent être supposés de manière erronée où les faces se coupent, mais ils ne sont pas comptés.

Si les intersections sont comptées comme de nouvelles arêtes et de nouveaux sommets, ils ne seront pas réguliers, mais ils peuvent encore être considérés dans les stellations. (voir aussi la Liste des modèles de polyèdres de Wenninger)

La caractéristique d'Euler

Un solide de Kepler-Poinsot (Les solides de Kepler-Poinsot sont les polyèdres étoilés réguliers. Chacun...) couvre sa sphère (En mathématiques, et plus précisément en géométrie euclidienne, une...) circonscrite plus d'une fois. A cause de cela, ils ne sont pas nécessairement topologiquement équivalent à la sphère comme le sont les solides de Platon (Platon (en grec ancien Πλάτων / Plátôn),...), et en particulier, la caractéristique d'Euler

S - A + F = 2

n'est pas toujours valide.

La valeur de la caractéristique d'Euler χ dépend de la forme du polyèdre (Un polyèdre est une forme géométrique à trois dimensions ayant des faces planes...). Considérons par exemple le petit dodécaèdre étoilé [2]. Il est constitué d'un dodécaèdre avec une pyramide (Une pyramide (du grec pyramis) à n côtés est un polyèdre formé en reliant...) pentagonale sur chacune de ses douze faces. Chacune des douze faces est un pentagramme avec la partie pentagonale cachée dans le solide. La partie extérieure de chaque face est constituée de cinq triangles qui se touchent seulement en cinq points. Alternativement, nous pourrions compter ces triangles comme des faces séparées - il y en 60 (mais ils sont seulement des triangles isocèles, et non des polygones réguliers). De manière similaire, chaque arête serait maintenant divisée en trois arêtes (mais alors, ils sont de deux sortes). Les "cinq points" que l'on vient de mentionner, forment ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection...) les 20 sommets supplémentaires, ainsi, nous avons un total ( Total est la qualité de ce qui est complet, sans exception. D'un point de vue comptable, un...) de 32 sommets (de sortes, de nouveau). Les pentagones internes cachés ne sont pas nécessaires pour former la surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a...) du polyèdre et peuvent disparaitre. Maintenant, la relation d'Euler est valable : 60 - 90 + 32 = 2. Néanmoins, ce polyèdre n'est pas celui décrit par le symbole de Schläfli (En mathématiques, le symbole de Schläfli est une notation de la forme {p,q,r, ...} qui...) {5/2,5}, et donc, ne peut pas être un solide de Kepler-Poinsot même s'il y ressemble encore d'aspect extérieur.

Page générée en 0.042 seconde(s) - site hébergé chez Contabo
Ce site fait l'objet d'une déclaration à la CNIL sous le numéro de dossier 1037632
Ce site est édité par Techno-Science.net - A propos - Informations légales
Partenaire: HD-Numérique