Théorème d'inversion locale

En mathématiques, le théorème d'inversion locale est un résultat de géométrie différentielle. Il indique que si une fonction f est continûment différentiable en un point a, si cette différentielle est une bijection bicontinue, c'est-à-dire qu'elle est continue ainsi que sa réciproque, alors localement f est inversible et son inverse est différentiable.

Ce théorème est équivalent à celui des fonctions implicites, son usage est largement répandu. On le trouve en géométrie algébrique, qui, sous une forme ou une autre est utilisée dans des démonstrations du théorème de la boule chevelue. Il indique que sur une sphère, supportant en chaque point un vecteur jamais nul, la fonction, associant à chaque point de la sphère le vecteur, contient au moins une discontinuité. La conséquence est qu'un tokamak n'est jamais sphérique mais torique. On le trouve encore dans certaines démonstrations des propriétés du multiplicateur de Lagrange, permettant de résoudre des problèmes d'extremums, comme celui du théorème isopérimétrique dont une des formes indique que la plus grande surface possible dans un plan, à périmètre donné, est le disque, raison pour laquelle les hublots sont circulaires. Il est aussi utilisé pour démontrer le théorème du redressement, qui permet d'établir qu'une équation différentielle autonome du plan ayant uniquement des solutions bornées ne peut engendrer le chaos, résultat connu sous le nom de théorème de Poincaré-Bendixson.

Sa démonstration utilise une version simple du théorème du point fixe. Elle permet d'établir le résultat dans diverses configuration, un espace vectoriel réel de dimension finie, un espace de Banach ou encore une variété différentielle. Il existe une version plus forte : le théorème d'inversion globale.

Il en existe plusieurs formes, celle proposée ici est relativement générale :

• Théorème d'inversion locale : Soit f une application de U dans F, où U est un ouvert d'un espace de Banach réel et F un espace de Banach et x un point de U. Si f est de classe C*, avec* p strictement positif et si la différentielle de f au point x un isomorphisme bicontinu, il existe un voisinage V de x tel que la restriction de f à V soit une bijection bicontinue dans f*(V) et la réciproque est de classe* C*.*

Cet énoncé mérite quelques explications. Un espace de Banach est un espace vectoriel normé complet pour la distance induite. Un exemple important est celui des espaces vectoriels réels de dimension finie. Certaines versions limitent d'ailleurs leur énoncé à ce cas particulier.

Une différentielle correspond à la généralisation de la notion de dérivée. Un accroissement f(x + h) - f(x), si h est petit, est presque égal à f' (x).h. A priori cette égalité possède un sens si f est une fonction de R dans R et le terme f'(x) désigne la dérivée de la fonction f au point x. Si la fonction est définie d'un espace vectoriel dans un autre, ce résultat se généralise mais f'(x), qui est alors noté df_x ou Df_x, est une application linéaire continue appelée différentielle de f au point x. L'application, qui à x associe Df_x, est la différentielle de f, c'est encore une application d'un espace vectoriel dans un autre, on peut parfois la différentier. Si cette opération est réalisable p fois, et si la différentielle p est continue, l'application f est dite de classe C.

On dispose du corollaire suivant :

• Théorème d'inversion globale : Sous les hypothèses du théorème précédent, si f est de plus injective et si pour tout x de U la différentielle Df_x de f au point x est un isomorphisme bicontinu, alors f est une bijection de U dans f(U) et sa réciproque est de classe C.

Remarque : Une application bijective de classe C, telle que sa réciproque soit aussi de classe C est appelée un C difféomorphisme.

Fonction réelle de la variable réelle

Le cas de la fonction réelle de la variable réelle est un peu particulier.

Si f est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle J à valeurs réelles, alors f(J) est aussi un intervalle, f est bijective de J sur f(J), et la bijection réciproque est continue (voir l'article Théorème de la bijection). Le graphe de f  est le symétrique de celui de f par rapport à la première bissectrice, d'équation x = y, comme illustré sur la figure de droite. Dans le cas particulier d'une fonction réelle de la variable réelle, les résultats sont donc plus globaux et nécessitent des hypothèses de nature différente. Ils ne sont pas généralisables, car un espace vectoriel ne dispose pas d'un ordre à l'image de l'ensemble des nombres réels.

Si de plus f est dérivable en un point a et que cette dérivée en a est non nulle alors f  est dérivable au point f(a) (voir l'article Opérations sur les dérivées). Pour cette propriété-ci, par contre, la méthode se généralise parfaitement.

Dimension deux

La dimension deux indique déjà l'existence d'un comportement différent du paragraphe précédent. Illustrons le pour la fonction f de R dans R définie par :

La figure de gauche indique comment le plan est transformé. L'image de la figure située en haut est illustré au dessous. Le carré vert a été déformé de manière bijective. A partir d'un point de l'image du carré vert, il est possible de reconstituer le point du carré d'origine. L'application f satisfait les hypothèses du théorème de l'article. Pour vérifier que l'application est localement inversible, il est utile de déterminer sa différentielle. Sa matrice, dite jacobienne est la suivante :

Pour savoir si la différentielle est un isomorphisme, le plus simple est de calculer son déterminant, appelé déterminant jacobien. Il est égal à exp(2x) et n'est jamais nul. L'application est en conséquence localement inversible en chaque point. A la différence des fonctions différentiables et définies sur un intervalle de R, cette propriété n'implique pas le caractère globalement injectif de f. Ajouter 2.π à la deuxième coordonnée ne modifie pas l'image par f, ainsi chaque point de R possède une infinité d'antécédents, à l'exception de l'origine qui n'en a pas. Cette fonction peut être vue comme l'exponentielle complexe. Sa réciproque, le logarithme complexe ne peut être défini sur C tout entier et il existe plusieurs méthodes pour le définir.

Un deuxième exemple est donné par la fonction suivante g dont le déterminant jacobien est égal à x/2 :

Cet exemple est illustrée avec les mêmes conventions sur la figure de droite. L'image de la zone bleu au haut à gauche est transformé en une espèce de papillon. L'application n'est pas inversible au voisinage d'un point ayant une première coordonnée nulle. Intuitivement, il est visible que les deux figures bleues ne sont pas équivalentes. Si l'on retranche le point central à celle de droite, la figure comporte alors deux composantes connexes. Le retrait d'un point quelconque sur la figure bleue à gauche ne produit jamais cet effet.

Les usages du théorème d'inversion locale sont multiples et touchent différentes branches des mathématiques. L'une d'entre elle concerne la branche d'origine du théorème : la géométrie différentielle. Cet usage est pratiqué à l'aide d'un corollaire portant le nom de théorème des fonctions implicites. Il prend la forme d'un résultat équivalent à celui de l'article et le théorème d'inversion locale apparaît, soit sous sa forme d'origine, soit sous celle des fonctions implicites.

Sous cette forme, on l'utilise pour étudier les figures géométriques définies sous forme d'équations, illustrées par l'exemple suivant :

Si le terme de gauche est vu comme une fonction f de R à valeurs dans R, la figure du plan étudié est l'intersection du graphe de la fonction f, illustré à droite, et du plan d'équation z = 0. De manière plus générale, une variété différentielle correspond à la généralisation de courbes ou surfaces régulières, en dimension quelconque. Il existe deux manières de les définir localement, à travers une équation, soit cartésienne, soit paramétrique. Le résultat de l'article montre l'équivalence de ces deux manières.

En calcul différentiel, le multiplicateur de Lagrange permet de trouver des extrema sous contrainte. Si U est un ouvert d'un espace euclidien, l'objectif est de trouver un extremum d'une fonction f définie sur les points x de U et à valeurs dans R vérifiant l'équation g(x) = 0, où g est une fonction à valeurs dans un autre espace euclidien.

On le trouve encore dans les équations différentielles, où il est l'outil de démonstration du théorème du redressement d'un flot. Une équation différentielle explicite possède une forme équivalente à (1) x' = f(t, x). Si la fonction f est indépendante de t l'équation est dite autonome, la fonction est un champ de vecteur et les solutions de l'équation possèdent des graphes tangents en un point x au vecteur f(x), à l'image de la figure rouge et jaune, à gauche. Le théorème du redressement d'un flot montre que localement, l'équation différentielle est équivalente à celle ayant un champ constant, à l'image de la représentation bleue et jaune, encore à gauche.

Les exemples cités supposent généralement la dimension finie des espaces vectoriels considérés. Tel n'est pas toujours le cas. Une manière d'exprimer les solutions de l'équation (1) est de considérer le flot, c'est-à-dire la fonction α, qui à un instant t et à un point x associe, le point image de la solution s de (1) vérifiant l'égalité s(0) = x. Si la fonction f est de classe C, alors le flot α l'est aussi. Une démonstration fait usage du théorème des fonctions implicites dans le contexte d'espaces vectoriels de dimension infinie.

Ces différents exemples sont développés dans l'article détaillé.

Étude d'un cas

Pour comprendre le principe de la démonstration, illustrons là sur la fonction f de C dans C, qui à z associe z. L'objectif est de l'inverser au voisinage du point 1/2(1 + i). On peut considérer cette application comme étant celle de R dans lui même, qui à (x, y) associe (x - y, 2.x.y). Cette application est partout différentiable, et en particulier autour du point z₀ de coordonnées (1/2, 1/2). Le calcul de ma matrice jacobienne J_z donne :

Sa différentielle est inversible au point z₀ et l'on note λ sa réciproque. L'objectif est de déterminer l'existence d'une application réciproque de f sur, par exemple le disque D de centre z₀ et de rayon 1/5. Cette zone est illustrée en bleu sur la figure de droite et son image en vert. Pour cela, il faut montrer qu'un point quelconque z₁ de la zone verte, possède un unique antécédent par f dans la zone bleue. Dans l'exemple on a choisi z₁ de coordonnées (0,1, 0,6), illustré en rouge. Cette question est relativement classique, une méthode pour y parvenir est d'utiliser le théorème du point fixe. Trois hypothèses doivent pour cela être vérifiées : l'ensemble considéré doit être complet, l'application g_y doit être d'un ensemble E dans lui même et elle doit être k-lipschitzienne avec k strictement plus petit que 1. L'espace C est complet, il ne reste plus qu'à construire la bonne fonction g. On la définit de D dans D par :

Au point z₀, comme λ désigne l'inverse de la différentielle de f en z₀, la différentielle de g est nulle. Il existe un voisinage sur lequel la différentielle de g est inférieure à 1/2, car g est continument différentiable. Le disque D est dans cette zone. Comme D est dans la zone contractante de g, cet ensemble est stable par g. L'image du disque D par g correspond à la zone jaune, une nouvelle itération donne une figure symbolisée par un point que la petitesse rend presque invisible sur la figure. En réitérant le processus, on obtient bien un point fixe et le théorème associé indique que ce point est unique. Si ce point fixe est noté ζ, il vérifie :

Dire que ζ est un point fixe de g revient exactement à dire qu'il est antécédent de z₁ par f, ce qui montre à la fois son existence et son unicité.

Existence d'une réciproque locale

L'approche précédente possède un avantage : nulle part il n'est fait usage de la dimension de l'espace vectoriel E contenant l'ouvert U, domaine de définition de f. En conséquence, la démonstration est naturellement valable sur un espace vectoriel normé complet quelconque, c'est-à-dire un espace de Banach. On utilise les mêmes notations que précédemment, f est une fonction de U dans un espace vectoriel normé F. Pour simplifier l'exposé, on cherche uniquement à montrer que f est inversible au point 0 et l'on suppose que f(0) = 0. Une fois ce cas traité, une simple translation permet de se ramener au cas général. La fonction f est supposée de classe C avec p strictement positif et la différentielle de f au point 0 est un isomorphisme continu dont la réciproque, notée λ, est aussi continue. On peut remarquer que l'on n'a pas supposé que F est un espace de Banach, mais comme les hypothèses supposent l'existence d'un isomorphisme bicontinu de E dans F, F est nécessairement un espace de Banach.

Soit φ l'application de U dans F, qui à x associe x - λ.f(x). En 0, l'application φ possède une différentielle nulle et, comme cette différentielle est continue, il existe un réel strictement positif r tel que la boule ouverte B_r de centre 0 et de rayon r soit incluse dans U et tel que la norme de la différentielle de g soit toujours strictement inférieure à 1/2 sur cette boule.

L'objectif est de montrer que f est injective sur la boule de rayon ν et de centre 0 et notée B_ν. L'application λ est continue, soit m sa norme, on définit ν comme étant un réel strictement positif et plus petit que r/(2.m). Si y est un point de B_ν, λ.y est de norme strictement inférieure à r/2. On construit la fonction φ_y de B_r dans elle même, où y est un point de B_ν :

L'application φ_y est bien à valeur dans B_r car la norme de λ.y est inférieure à r/2, tout comme celle de φ(x). L'inégalité des accroissements finis montre que φ est 1/2-lipschitzienne et par voie de conséquence φ_y aussi car φ_y est une translation de φ. Le théorème du point fixe montre l'existence et l'unicité d'un point fixe de φ_y sur B_r, ce qui est équivalent à dire que f est bijective de B_ν dans son image.

Régularité de la réciproque

Il s'agit maintenant de montrer que la réciproque de f est de classe C. On note V l'image de B_ν par f. Soit y₁ et y₂ deux points quelconques de V et x₁, x₂ leurs antécédents. La continuité s'obtient à en remarquant que φ est 1/2 lipschitzien et :

Ce qui s'écrit encore :

Montrons que la réciproque de f est différentiable sur V. Soit y un point de V et k un vecteur de F tel que y + k soit aussi élément de V. On note x + h l'image de y + k par la réciproque de f :

On remarque que la différentielle est supposée ici inversible non plus uniquement en x₀ mais sur un voisinage de x₀. L'ensemble des isomorphismes inversibles continus forment un ouvert. Pour s'en rendre compte, il suffit de remarquer que si β est un morphisme de petite norme et si α est un isomorphisme bicontinu, α + β s'écrit encore α(Id + αβ) qui est le produit de deux isomorphismes bicontinus. Pour le deuxième, il suffit d'utiliser un développement en série entière pour s'en rendre compte. La série est convergente si la norme de β est strictement plus petite que celle de l'inverse de α :

Un développement limité de la fonction f montre que :

Où M est un majorant de la norme de la différentielle de f sur B_ν. Un tel majorant existe car φ est contractante sur B_ν et f(x) = λ.(x - φ(x)).

Il reste encore à montrer que la réciproque de f est de classe C. La différentielle de la réciproque de f est la composée de la fonction f  par l'inverse de la différentielle de f. La fonction inverse est infiniment différentiable, f est de classe C et la réciproque de f est continue, on en déduit que la réciproque de f est de classe C. De proche en proche, on vérifie que la réciproque de f est de classe C.