Théorème d'inversion locale - Définition

Introduction

En mathématiques, le théorème d'inversion locale est un résultat de géométrie différentielle. Il indique que si une fonction f est continûment différentiable en un point a, si cette différentielle est une bijection bicontinue, c'est-à-dire qu'elle est continue ainsi que sa réciproque, alors localement f est inversible et son inverse est différentiable.

Ce théorème est équivalent à celui des fonctions implicites, son usage est largement répandu. On le trouve en géométrie algébrique, qui, sous une forme ou une autre est utilisée dans des démonstrations du théorème de la boule chevelue. Il indique que sur une sphère, supportant en chaque point un vecteur jamais nul, la fonction, associant à chaque point de la sphère le vecteur, contient au moins une discontinuité. La conséquence est qu'un tokamak n'est jamais sphérique mais torique. On le trouve encore dans certaines démonstrations des propriétés du multiplicateur de Lagrange, permettant de résoudre des problèmes d'extremums, comme celui du théorème isopérimétrique dont une des formes indique que la plus grande surface possible dans un plan, à périmètre donné, est le disque, raison pour laquelle les hublots sont circulaires. Il est aussi utilisé pour démontrer le théorème du redressement, qui permet d'établir qu'une équation différentielle autonome du plan ayant uniquement des solutions bornées ne peut engendrer le chaos, résultat connu sous le nom de théorème de Poincaré-Bendixson.

Sa démonstration utilise une version simple du théorème du point fixe. Elle permet d'établir le résultat dans diverses configuration, un espace vectoriel réel de dimension finie, un espace de Banach ou encore une variété différentielle. Il existe une version plus forte : le théorème d'inversion globale.

Énoncés

Il en existe plusieurs formes, celle proposée ici est relativement générale :

• Théorème d'inversion locale : Soit f une application de U dans F, où U est un ouvert d'un espace de Banach réel et F un espace de Banach et x un point de U. Si f est de classe C^p, avec p strictement positif et si la différentielle de f au point x un isomorphisme bicontinu, il existe un voisinage V de x tel que la restriction de f à V soit une bijection bicontinue dans f(V) et la réciproque est de classe C^p.

Cet énoncé mérite quelques explications. Un espace de Banach est un espace vectoriel normé complet pour la distance induite. Un exemple important est celui des espaces vectoriels réels de dimension finie. Certaines versions limitent d'ailleurs leur énoncé à ce cas particulier.

Une différentielle correspond à la généralisation de la notion de dérivée. Un accroissement f(x + h) - f(x), si h est petit, est presque égal à f' (x).h. A priori cette égalité possède un sens si f est une fonction de R dans R et le terme f'(x) désigne la dérivée de la fonction f au point x. Si la fonction est définie d'un espace vectoriel dans un autre, ce résultat se généralise mais f'(x), qui est alors noté df_x ou Df_x, est une application linéaire continue appelée différentielle de f au point x. L'application, qui à x associe Df_x, est la différentielle de f, c'est encore une application d'un espace vectoriel dans un autre, on peut parfois la différentier. Si cette opération est réalisable p fois, et si la différentielle p^ième est continue, l'application f est dite de classe C^p.

On dispose du corollaire suivant :

• Théorème d'inversion globale : Sous les hypothèses du théorème précédent, si f est de plus injective et si pour tout x de U la différentielle Df_x de f au point x est un isomorphisme bicontinu, alors f est une bijection de U dans f(U) et sa réciproque est de classe C^p.

Remarque : Une application bijective de classe C^p, telle que sa réciproque soit aussi de classe C^p est appelée un C^p difféomorphisme.