Soit
un corps commutatif, E, un
-espace vectoriel de dimension finie, et
un endomorphisme de E.
Cette donnée de u est en fait équivalente à la donnée d'une structure de
-module sur E : si P est un polynôme de
, et x un élément de E, alors P agit sur x par :
P.x = P(u)(x)
L'anneau
étant euclidien, le théorème des facteurs invariants assure l'existence d'un isomorphisme de
-modules :
avec
. On remarque qu'il ne peut y avoir de partie
-libre, puisque l'espace E est de
-dimension finie. Notons pour chaque i : di = deg(Pi). Soit
la
-base de E déduite par l'isomorphisme précédent de la
-base canonique du module de droite : xi correspond à
, où le coefficient 1 apparaît sur la ième composante. Alors, la famille :
constitue une
-base de E. La matrice de l'endomorphisme u dans cette base est :
où chaque
est la matrice compagnon du polynôme Pi. La particularisation du théorème des facteurs invariants dans ce cadre est parfois appelé théorème de Frobenius.
Cette décomposition permet de trouver des polynômes annulateurs de l'endomorphisme u ; en effet, pour touti, Pi(u)(xi) = 0 ; et donc, par la relation de divisibilité : Pt(u) = 0. Par ailleurs, la famille
étant
-libre, aucun polynôme de degré inférieur à dt ne peut annuler u. Ainsi, le polynôme Pt est le polynôme minimal de u ; et le polynôme
est son polynôme caractéristique.
Théorème
La suite
(avec relations de divisibilité, polynômes choisis unitaires) caractérise la classe de similitude d'un endomorphisme (ou d'une matrice). On l'appelle suite des invariants de similitude de l'endomorphisme (ou d'une matrice).
Calcul des invariants de similitude
En pratique, la suite des invariants de similitude d'une matrice
se calcule en remarquant qu'elle se déduit de la suite des facteurs invariants de la matrice , en enlevant de celle-ci les facteurs invariants inversibles (c'est-à-dire les polynômes constants).
En effet, la matrice A étant semblable,dans
, à la matrice
, où les
sont les invariants de similitude de A, les matrices A − X.Id et C − X.Id sont a fortiori semblables dans
, et a fortiori équivalentes dans cet espace. Par opérations élémentaires, on vérifie que chaque bloc diagonal
de C − X.Id est équivalent dans
à la matrice diagonale
; ainsi C − X.Id et donc A − X.Id ont pour facteurs invariants non inversibles dans
.
![\mathbb{K}[X]](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/a/a54a58150f8fbfa21e4e47bea7551681_74473e1ff482d8b2fb4406e56cad5749.png)
![E\simeq \mathbb{K}[X]/(P_1)\oplus\dots\oplus\mathbb{K}[X]/(P_t)](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/6/64bd04dd64602e4b9c48170ddf0d6a0c_db30807b1202d8188382b535f2b91c9f.png)
![M_n(\mathbb{K}[X])](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/8/84e7cb2f82d568b7b1243beb6009e6ee_7b61e211c17653e0ed9b73145daaed19.png)
![M_{d_i}(\mathbb{K}[X])](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/7/7e5063c0568303a12be71385252e84cc_493b74affada7aa0b0ea0a1d60e6bab0.png)
![\mathcal{K}[X]](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/9/92ec668eb7f5f3dc788955bd2ae7c1cc_235cd897b9f61ba9009975d0c557a282.png)
