Théorème des unités de Dirichlet - Définition

Exemple

Considérons la fermeture intégrale d'un corps quadratique, c'est-à-dire l'ensemble des entiers algébriques sur Q d'une extension quadratique de Q.

Si cet anneau contient des éléments à composante imaginaire non nulle, alors r₁ est égal à zéro et r₂ à un, le groupe des unités est un groupe cyclique fini, il contient en général deux éléments sauf pour les entiers de Gauss et ceux de d'Eisenstein. Ces anneaux d'entiers quadratiques sont les seuls fermeture intégrale d'un corps de nombres à posséder un groupe des unités d'ordre fini (non égal à 2).

Si cet anneau est inclus dans le corps des réels, r₁ est égal à deux et r₂ à zéro. Le groupe est le produit direct d'un groupe cyclique à deux éléments et d'un groupe isomorphe à Z. Cette situation est par exemple celle des entiers de Dirichlet. L'équation de Pell-Fermat se résout à l'aide de la détermination du groupe des unités d'un corps quadratique réel.

Une démonstration du théorème dans le cas particulier des entiers quadratiques est donnée dans l'article détaillé.

Bibliographie

Pierre Samuel, Théorie algébrique des nombres