Théorème des unités de Dirichlet - Définition

Introduction

En théorie algébrique des nombres, le théorème des unités de Dirichlet détermine la structure du groupe des unités d'un corps de nombres des entiers algébriques d'un corps de nombres K. Le groupe des unités désigne l'ensemble des éléments inversibles d'un anneau commutatif unitaire. Un corps de nombres est une extension finie des nombres rationnels Q, c'est-à-dire un sous-corps des nombres complexes C qui, en tant qu'espace vectoriel sur Q est de dimension finie. Un entier algébrique du corps de nombres est un élément dont le polynôme minimal est à coefficients dans Z, l'anneau des nombres entiers.

Le théorème des unités stipule que le groupe des unités est isomorphe au produit d'un groupe cyclique fini et d'un groupe abélien libre de type fini. Si r₁ désigne le nombre de morphismes injectifs du corps K dans R le corps des nombres réels et r₂ le nombre de couples de morphismes injectifs conjugués du corps K dans l'ensemble C, alors la dimension du groupe libre de type fini est égale à r₁ + r₂ - 1. Le groupe cyclique est un sous-groupe du groupe des racines de l'unité.

Définitions et théorème

L'expression du théorème des unités de Dirichlet utilise parfois la notion de place. Dans le cas général :

• Une place d'un corps K dans un corps L est une application de K adjoint de la valeur infinie ∞ dans L adjoint de la même valeur et respectant l'addition et la multiplication. On utilise les conventions x + ∞ = ∞ si x est un élément du corps, x.∞ = ∞ si x est un élément non nul du corps et ∞.∞ = ∞ avec ∞ + ∞ = ∞.

Si K est une extension finie de Q, alors la théorie de Galois indique qu'il existe autant de places de K à valeurs dans C que la dimension de K en tant qu'espace vectoriel sur Q (cf l'article Extension de Galois). Si une place a pour image un sous-corps de C qui n'est pas inclus dans R, alors la composition de l'application conjuguée et de la place est aussi une place. On peut ainsi séparer les r₁ places à valeurs réelles d'avec les r₂ couples de places conjuguées à valeurs complexes. De plus r₁ + 2r₁ est égal à la dimension de K sur Q. Le théorème des unités de Dirichlet s'exprime de la manière suivante :

• Le groupe E(K) des unités de l'anneau d'entiers O_K d'un corps de nombres est isomorphe au produit direct d'un groupe cyclique fini et d'un groupe abélien libre de type fini de dimension r₁ + r₂ - 1 où r₁ désigne le nombre de places réelles et r₂ le nombre de couples de places complexes.

Un groupe abélien de type fini et de dimension n est isomorphe à Zⁿ.

Démonstration

Décors

Il est analogue à celui de l'analyse du groupe des classes d'idéaux de O_K. Rappelons-le brièvement :

Les éléments du groupe de Galois du corps de décomposition de K (la plus petite extension de Galois contenant K) sont notés σ₁, ... , σ_d. La numérotation suit l'ordre suivant : les automorphismes à valeurs réelles sont numérotés de 1 à r₁, si 2r₂ désigne le nombre d'automorphismes ayant une composante imaginaire non nulle, alors le conjugué de la fonction σ_{r1 + n} est σ_{r1 + r2 + n}.

L'ensemble K_R désigne l'espace vectoriel R^r₁ x C^r₂ et Σ le morphisme de Q algèbre suivant :

On définit de même une fonction N_R de K_R à valeurs dans R par :

La norme N_R correspond à la moyenne géométrique des différentes valeurs absolues ou modules si la coordonnée est complexe.

Si N_K désigne la fonction qui à un élément α de K associe sa norme relative élément de Q, on obtient le diagramme commutatif :

On munit K_R de la norme suivante :

Image et noyau du morphisme Σ restreint à E(K)

L'isomorphisme est donné par l'application :

L'image est indexée par les plongements réels de K (r premières composantes), et par le choix d'un représentant de chaque couple de plongement complexe conjugué (s dernières composantes).

L'idée de la preuve est de montrer que les racines de l'unité forment le noyau de ce morphisme, et que l'image est un réseau d'un hyperplan de l'espace d'arrivée, via le théorème de Minkowski.

Cette caractérisation de r₁ et de r₂ est basée sur le fait qu'il existe n manières d'inclure (ou de plonger, d'où le terme plongement) K dans le corps des nombres complexes, où est le degré du corps K. Ces plongements sont soit inclus dans le corps des nombres réels, soit ne le sont pas ; et ce dernier type de plongement arrive par paires reliées par la conjugaison complexe. Ainsi : n = r₁ + 2r₂.

Dans le cas d'un corps quadratique réel, le rang du groupe des unités est donc 1 (0 dans le cas complexe). La théorie des unités pour les corps quadratiques réels est essentiellement la théorie de l'équation de Pell-Fermat. Pour tout corps de nombres autre que lui-même et les corps quadratiques imaginaires, le rang du groupe des unités est >0.

La taille des unités est mesurée par un certain déterminant, appelé régulateur. Par ailleurs, le calcul de bases pour la partie libre du groupe des unités est effective, mais se heurte en pratique à la complexité des calculs dès que le degré du corps K augmente (les problèmes surviennent généralement avant le degré 100).

Le théorème admet des généralisations dans plusieurs axes : étude du groupe des S-unités, pour S un ensemble d'idéaux premiers, c'est-à-dire, grossièrement parlant, des éléments dont les composantes suivant tous les facteurs sont inversibles, sauf un certain nombre prescrit ; ou bien des caractères pour l'action d'un groupe de Galois sur ces groupes d'unités.