Théorèmes d'isomorphisme - Définition

Notons les lois de G et G', ainsi que e et e' leurs éléments neutres, et vérifions que est stable par conjugaison, c'est-à-dire que pour tout et tout .

On a . Comme h est dans , c'est-à-dire que f(h) = e', on en déduit que . Ainsi, est dans et est donc un sous-groupe normal de G.

Notons H le noyau de f. On définit en posant

.

• La fonction est bien définie, c'est-à-dire que ne dépend que de la classe xH et pas du représentant particulier x.

En effet, si est un autre représentant de xH, c'est-à-dire si xH = yH, alors donc f(x) = f(y), d'où .

• Par définition de la loi de groupe quotient, est un morphisme de groupes.

• Le morphisme est surjectif :

pour tout , il existe tel que f(x) = y ; mais alors .

• Le morphisme est injectif.

En effet, soit xH un élément de son noyau. Alors , c'est-à-dire que x est dans le noyau H de f. Mais alors xH = H, qui est l'élément neutre de G / H.

• Pour pouvoir parler du groupe HN / N, il faut d'abord montrer que HN est un groupe et que N en est un sous-groupe normal.

Soient hn et h'n' deux éléments de HN. On a hnh'n' = hh'(h' ^{− 1}nh')n', avec , (puisque N est normal dans G) et , donc hnh'n' est dans HN, ce qui montre que HN est stable par multiplication.

D'autre part, on a les inclusions de groupes , et N est normal dans G, donc il est également normal dans HN.

• Pour établir l'isomorphisme, nous allons utiliser le premier théorème d'isomorphisme.

On dispose d'un morphisme injectif définie par j(h) = h, et de la surjection canonique (l'ensemble à l'arrivée est un groupe, puisque N est normal dans G). En composant ces deux morphismes, on obtient un nouveau morphisme défini par f(h) = hN.

• Le morphisme f est surjectif.

En effet, soit , avec et . Puisque n est dans N, hnN = hN, donc hnN = f(h).

• Le noyau de f est .

En effet, f(h) = hN est l'élément neutre N de HN / N si, et seulement si, h est dans N. Comme h est déjà dans H, cela revient à dire que h est dans .

• Le premier théorème d'isomorphisme assure alors que est un sous-groupe normal de H, et que le morphisme induit est un isomorphisme.